18、椭圆曲线的有理点与相关定理

椭圆曲线的有理点与相关定理

1. 椭圆曲线的扭子群

对于椭圆曲线 (E: y^{2}=x^{3}+18x + 72)，计算可得 (4A^{3}+27B^{2}=163296 = 2^{5}\cdot3^{6}\cdot7)。若使用 Lutz - Nagell 定理，需检查所有满足 (y^{2}\mid163296) 的 (y) 值，这等价于检查所有 (y\mid108 = 2^{2}\cdot3^{3}) 的 (y)。不过，通过模 5 约化有 5 个点，模 11 约化有 8 个点，可得出 (E(\mathbb{Q})) 的扭子群是平凡的。

Mazur 有一个深刻的结果：设 (E) 是定义在 (\mathbb{Q}) 上的椭圆曲线，则 (E(\mathbb{Q})) 的扭子群是以下情形之一：
- (\mathbb{Z} {n})，其中 (1\leq n\leq10) 或 (n = 12)；
- (\mathbb{Z} {2}\oplus\mathbb{Z}_{2n})，其中 (1\leq n\leq4)。

对于定理中的每个群，都存在无穷多个椭圆曲线 (E)（具有不同的 (j) - 不变量），使得该群是 (E(\mathbb{Q})) 的扭子群。

2. 下降法与弱 Mordell - Weil 定理

以曲线 (E: y^{2}=x(x - 2)(x + 2)) 为例，当 (y = 0) 时，(x = 0,\pm2)。假设 (y\neq0)，因为 (x(x - 2)(x + 2)) 是平方数，直觉上每个因子应接近平方数。设 (x = au^{2})，(x - 2 = bv^{2})，(x + 2 =