19、椭圆曲线相关理论与实例解析

椭圆曲线相关理论与实例解析

1. 椭圆曲线基本定理与秩的计算

1.1 基本定理概述

Mordell - Weil 定理指出，如果 (E) 是定义在有理数域 (\mathbb{Q}) 上的椭圆曲线，那么 (E(\mathbb{Q})) 是有限生成的阿贝尔群。其结构可表示为 (E(\mathbb{Q}) \simeq T \oplus \mathbb{Z}^r)，其中 (T) 是有限群（挠子群），(r \geq 0) 是整数，称为 (E(\mathbb{Q})) 的秩。挠子群 (T) 相对容易计算，而秩 (r) 的计算则较为困难。

1.2 实例分析

1.2.1 曲线 (y^2 = x^3 - 4x)

已知 (E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q}) = {\infty, (0, 0), (2, 0), (-2, 0)})，通过 Lutz - Nagell 定理计算可得挠子群 (T = E[2])。又因为 (E(\mathbb{Q}) \simeq T \oplus \mathbb{Z}^r)，且 (E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})) 的阶为 4，所以 (r = 0)，进而 (E(\mathbb{Q}) = E[2] = {\infty, (0, 0), (2, 0), (-2, 0)})。

1.2.2 曲线 (y^2 = x^3 - 25x)

• 挠子群与无穷阶点 ：该曲线有已知点 ((0, 0), (5, 0), (-5, 0), (-4, 6))，计算可得 (2(-4, 6) = (\frac{41