15、椭圆曲线密码学：原理、应用与安全分析

椭圆曲线密码学：原理、应用与安全分析

在当今数字化时代，信息安全至关重要，密码学作为保障信息安全的核心技术，不断发展和创新。椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）因其在安全性和效率方面的优势，成为了密码学领域的研究热点。本文将深入探讨椭圆曲线密码学的多种加密和签名方案，包括Diffie - Hellman问题、ElGamal公钥加密、数字签名算法等，并分析其安全性和实际应用中的注意事项。

1. 消息在椭圆曲线上的表示

在椭圆曲线密码学中，首先需要解决如何将消息表示为椭圆曲线上的点。这里采用Koblitz提出的方法，假设椭圆曲线 $E$ 的方程为 $y^2 = x^3 + Ax + B$ ，定义在有限域 $F_p$ 上（对于任意有限域 $F_q$ 情况类似）。具体步骤如下：
- 设消息 $m$ 表示为一个满足 $0 \leq m < p/100$ 的数字。
- 对于 $0 \leq j < 100$ ，计算 $x_j = 100m + j$ 。
- 计算 $s_j = x_j^3 + Ax_j + B$ 。
- 若 $s_j^{(p - 1)/2} \equiv 1 \pmod{p}$ ，则 $s_j$ 是模 $p$ 的平方数。当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，$s_j$ 的平方根为 $y_j \equiv s_j^{(p + 1)/4} \pmod{p}$ ；当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，计算平方根的过程更复杂。
- 这样就得到椭圆曲线 $E$ 上的点 $(x_j, y_j)$ 。要从 $(x_j, y_j)$ 恢复 $m$ ，只需计算 $\lfloor x