7、椭圆曲线的扭点与除多项式：理论与应用

椭圆曲线的扭点与除多项式：理论与应用

1. 椭圆曲线相关映射与性质

设 (A, B \in R)，且存在 (r \in R) 使得 ((4A^3 + 27B^2)r - 1 \in I)。此时，映射 (\text{red}_I: E(R) \to E(R/I))，((x : y : z) \to (x : y : z) \mod I) 是一个群同态。证明过程与推论 2.33 类似，只是将 (Z) 替换为 (R)，(\mod n) 替换为 (\mod I)。条件 ((4A^3 + 27B^2)r - 1 \in I) 意味着 (4A^3 + 27B^2) 是 (R/I) 中的单位，这是在环 (R/I) 上定义椭圆曲线所必需的。

2. 椭圆曲线相关练习

• 练习 2.1
  • (a)部分 ：证明首一三次多项式的常数项是其根的乘积的相反数。
  • (b)部分 ：利用 (a) 部分的结论，推导当两个不同点 (P_1, P_2) 的 (x) 坐标 (x_1) 和 (x_2) 非零时，它们的和的公式。需注意，当其中一个坐标为 0 时，使用常规公式会涉及除以零的情况。
• 练习 2.2 ：点 ((3, 5)) 位于定义在 (Q) 上的椭圆曲线 (E: y^2 = x^3 - 2) 上，求 (E(Q)) 中一个具有有理非整数坐标的点（非无穷远点）。
• 练习 2.3 ：点 (P =