18、多项式层级结构的深入解析

多项式层级结构的深入解析

1. 多项式层级简介

多项式层级是基于NP的复杂度类层级结构，与布尔层级类似。该层级的各个级别可以通过两种等价方式来刻画：一是使用长度受限的交替存在量词（∃）和全称量词（∀）；二是借助访问NP预言机的NP预言机栈。

2. NP问题的量化表示

• NP算法的阶段 ：NP算法通常包含两个阶段，即非确定性猜测阶段和确定性检查阶段。在猜测阶段，算法会尝试猜测潜在的问题解决方案；在检查阶段，会验证所猜测解决方案的正确性，且这两个阶段都受多项式时间限制。
• 见证集的定义 ：对于属于NP的集合A，以及在多项式时间p内接受A的NP机器M，定义“x ∈ A”关于M的见证集为：
  [Wit_M(x) = {w \in {0, 1}^{p(n)} | w 是 M(x) 的一个接受计算路径}]
  其中，x的长度为n。需要注意的是，x ∈ A当且仅当Wit_M(x)非空。
• NP问题的特征 ：所有NP问题都具有这样的形式：集合A属于NP（通过某个NP机器M），当且仅当A恰好包含那些存在多项式长度受限、多项式时间可检查的见证w（相对于M）的输入字符串x。也就是说，见证实际上就是M(x)的接受计算路径，适当地编码为长度为p(|x|)的二进制字符串，其中p属于多项式函数集合。见证w的第i位对应于M(x)在计算路径w上的第i个非确定性分支。

3. 示例说明

下面通过几个具体的NP问题示例来进一步理解见证的概念：
- 子