26、计算复杂度中的BPP类与量化表示

计算复杂度中的BPP类与量化表示

1. 问题引入与相关规约

在计算复杂度理论中，我们常常需要研究不同问题之间的可归约性。首先，存在从某个问题到Threshold - SAT问题的归约。设 $f_M$ 是一个归约函数，对于输入 $x$，$\phi_{M,x} = f_M(x)$ 是对应的布尔公式。由于该归约是保数的，所以 $acc_M(x) = ||{\beta | \beta 是 \phi_{M,x} 的一个满足赋值}||$。通过归约 $g(x) = \langle\phi_{M,x}, 2^{p(|x|)}-1\rangle$ 可以证明某个问题 $A$ 可以多项式时间图灵归约到Threshold - SAT问题，即 $A \leq_p^m$ Threshold - SAT。

接着，我们来看Threshold - SAT到Majority - SAT的归约。对于任意给定的Threshold - SAT实例 $\langle\phi, i\rangle$，其中 $\phi$ 是关于变量 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 的布尔公式。我们要构造一个公式 $\psi$，使得 $\psi$ 恰好有 $j = 2^m - i$ 个满足赋值（假设 $i \leq 2^m$）。具体构造如下：
考虑 $j$ 的二进制表示 $j = 2^{m - s_1} + 2^{m - s_2} + \cdots + 2^{m - s_k}$，其中 $0 \leq s_1 < s_2 < \cdots < s_k \leq m$。定义
$\psi = (x_1 \land \cdots \land x_{s_1 - 1} \land x_{s_1}) \lor$
$(