19、计算复杂性中的NP结构与多项式层次结构解析

计算复杂性中的NP结构与多项式层次结构解析

1. NP结构相关性质

在计算复杂性理论中，有一些关于NP结构的重要性质和结论。首先是一些作业问题，需要证明以下几个关系：
- (X \leq_P^T X \oplus Y) 且 (Y \leq_P^T X \oplus Y)；
- (X \leq_P^T Z) 且 (Y \leq_P^T Z) 意味着 (X \oplus Y \leq_P^T Z)；
- (X \leq_P^T Y) 且 (Z \leq_P^T X \oplus Y) 意味着 (Z \leq_P^T Y)。

基于这些基础关系，有几个重要的推论：
- 推论7.5 ：如果 (P \neq NP)，那么存在NP中不可比较的成员。也就是说，存在NP中的集合 (C_0) 和 (C_1)，使得 (C_0 \nleq_P^T C_1) 且 (C_1 \nleq_P^T C_0)。证明过程中，通过设定 (A = \varnothing)，(B = SAT)，(C_1) 为所有NP的 (\leq_P^T) - 完全集的集合，(C_2 = P)，利用定理7.6和作业7.7的结果，得出 (C_0 = G[f] \cap SAT) 和 (C_1 = G[f] \cap SAT) 属于 (NP - P) 且都不是NP的 (\leq_P^T) - 完全集，进而得到 (SAT \nleq_P^T C_0) 和 (SAT \nleq_P^T C_1)，再结合作业7.8的结论得出 (C_0) 和 (C_1) 不可比较。
- 推论7.6 ：如果 (P \neq NP)，那么对于每个 (B \in N