2、计算机科学与数学基础：算法、形式语言与递归函数理论

计算机科学与数学基础：算法、形式语言与递归函数理论

在计算机科学和数学领域，数学语言以其精确和优雅的方式描述了计算复杂性和密码学的概念、结果和方法。本文将深入探讨算法、形式语言和递归函数理论的基础知识。

1. 算法基础

1.1 算法的定义与历史

算法是解决问题时需遵循的一组有限规则或程序。这个词源于波斯 - 阿拉伯科学家穆罕默德·伊本·穆萨·阿布·贾法尔·阿尔·花剌子模（Muhammed Ibn Musa Abu Dj´afar al Choresmi）的名字。在公元820年，他撰写了具有重大影响力的《论印度数字》（“On the Indian Numbers”），引入了十进制系统（包括数字零）。

直观上，算法在处理输入时，可能在有限步骤后成功将输入转换为解决问题的输出，也可能失败拒绝输入，甚至可能永远运行下去。判断算法是否会停止是一个难题，即停机问题。递归函数理论的一个基本结果表明，停机问题无法通过算法解决，这揭示了算法和计算机的局限性。

1.2 欧几里得算法示例

欧几里得算法是一个古老而重要的算法，用于确定两个整数 (m) 和 (n)（(m ≤ n)）的最大公约数 (gcd(n, m))。其伪代码如下：

EUCLID(n, m) {
    if (m = 0) return n;
    else return EUCLID(m, n mod m);
}

该算法通过递归调用自身，不断修改 (n) 和 (m) 的值，直到满足终止条件 (m = 0)，此时 (n) 的值即为最大公约数。