24、组稀疏非负矩阵分解（Group Sparse NMF）在音乐分离中的应用

组稀疏非负矩阵分解（Group Sparse NMF）在音乐分离中的应用

在音频处理领域，从混合音频信号中分离出不同的源信号是一个重要的任务，特别是对于单声道音乐分离，需要有效的方法来区分和提取其中的节奏和和声成分。组稀疏非负矩阵分解（Group Sparse NMF）为此提供了一种强大的解决方案，下面将详细介绍其原理、实现和评估。

1. 组稀疏非负矩阵分解基础

在处理音频信号时，组稀疏非负矩阵分解将其划分为多个段 ${X^{(l)}} {l = 1}^L$。其中，$B_r \in R^{M \times K_r} +$ 是所有段共享的基矩阵，用于捕捉整个信号不同段中持续出现的重复模式；而 $B_h^{(l)} \in R^{M \times K_h}_+$ 和 $E^{(l)}$ 分别是给定段 $l$ 的个体基矩阵和噪声矩阵，个体基用于补偿共享基无法处理的剩余信息。

具体来说，共享基和个体基分别用于从混合音频信号中恢复节奏和和声信号。从子空间的角度来看，观测信号被分解为两个部分：一部分来自共享基张成的主空间，另一部分来自个体基张成的次空间。

同时，对两组重建权重 $W_r^{(l)} \in R^{K_r \times N} +$ 和 $W_h^{(l)} \in R^{K_h \times N} +$ 施加稀疏性约束。假设节奏源的重建权重 $W_r^{(l)}$ 和和声源的重建权重 $W_h^{(l)}$ 相互独立，但允许每组内的重建权重之间存在依赖关系。

假设第 $n$ 个噪声向量 $E^{(l)} {\colon n}$ 是均值为零的高斯分布，且具有 $M \times M$ 的