23、贝叶斯非负矩阵分解与组稀疏非负矩阵分解：原理、评估与应用

贝叶斯非负矩阵分解与组稀疏非负矩阵分解：原理、评估与应用

1. 贝叶斯非负矩阵分解（BNMF）概述

贝叶斯非负矩阵分解（BNMF）在单通道源分离任务中具有重要作用，可通过最大化边际似然来估计非负矩阵分解（NMF）模型的超参数或正则化参数，从而提高源分离的鲁棒性。常见的BNMF类型包括高斯 - 指数BNMF（GE - BNMF）、泊松 - 伽马BNMF（PG - BNMF）和泊松 - 指数BNMF（PE - BNMF），它们在似然 - 先验对、推理算法、闭式解和优化条件等方面存在差异，具体如下表所示：
| 似然 - 先验 | 推理算法 | 闭式解 | 优化理论 |
| — | — | — | — |
| 高斯 - 指数 | Gibbs | 否 | - |
| 泊松 - 伽马 | VB | 部分 | 简化 |
| 泊松 - 指数 | VB | 是 | 完整 |

PE - BNMF在性能上优于GE - BNMF和PG - BNMF，原因主要有两点：
- 可处理的解决方案 ：使用指数先验提供了如式（5.158） - （5.159）所示的可处理解决方案，与稀疏NMF等效，有利于鲁棒源分离。而GE - BNMF中的Gibbs采样和PG - BNMF中的牛顿解计算量较大。
- 完整的依赖特征 ：在寻找PE - NMF的最优解时，充分表征了变分下界的三个项对指数超参数的依赖关系，而PG - BNMF的简化解忽略了L(q)对伽马超参数的一些依赖关系。此外，GE - BNMF的观测值未被约束为非负，无法反映NMF中的非负性条件。

其中，正且唯一的根计算公式