3、音频信号处理：上采样、z变换与滤波器设计

音频信号处理：上采样、z变换与滤波器设计

1. 上采样（Upsampling）

在音频信号处理中，当我们需要提高音频信号的采样率时，就需要进行上采样操作，它是下采样的逆过程。例如，将第 $k$ 个子带信号 $y_k(m)$ 以因子 $N$ 进行上采样，意味着在每个原始样本后插入 $N - 1$ 个新样本，从而使样本数量增加 $N$ 倍。

常见的上采样方法是简单地将每个样本重复 $N - 1$ 次，这等效于先在每个原始样本后插入 $N - 1$ 个零，然后用一个冲激响应或滤波器系数由 $N$ 个 1 组成的低通滤波器对这个新序列进行滤波。更通用的方法是先插入 $N - 1$ 个零，然后用一个通用的插值滤波器对该序列进行滤波。

为区分不同采样率下的时间索引，我们用 $m$ 表示较低采样率，用 $n$ 表示较高采样率。上采样与较低和较高采样率版本的频率响应之间的关系为：
$Y ↑N_{0,k} (Ω) = Y_k(ΩN)$
这表明将采样率提高 $N$ 倍相当于对频率尺度进行收缩。若 $Y$ 的归一化频率为 $\pi$，上采样后变为 $\pi/N$。由于频谱具有 $2\pi$ 周期性，$X_d$ 的频谱变为 $2\pi/N$ 周期性，会在频率间隔为 $2\pi/N$ 处产生混叠分量。若要重建原始高频带信号，只需再次应用理想高通滤波器。

这里似乎与传统的奈奎斯特定理相矛盾，因为此时采样率并非信号频率上限的两倍。不同之处在于，这里采样的是带通信号，采样率是信号带宽的两倍。若将采样引入的混叠视为将带通信号下移至基带（频率零附近），再用传统奈奎斯特定理进行采样，然后利用上采样的混叠将信号频率移回频谱中的原始位置，并通过滤波抑制不需要的混叠部分，就可以将该原