12、采样与Z变换：数字信号处理的核心概念

采样与Z变换：数字信号处理的核心概念

1. 采样相关内容

1.1 采样基础等式

在采样过程中，存在这样的关系：$y_1(kL) = w_1(kML) = x(kM)$，所以$y_1(kL) = y_2(kL)$。不过，要使$y_1(n)$等于$y_2(n)$，需要满足$y_1(n) = w_1(nM) = 0$（$n \neq kL$），而这一条件成立的充要条件是$M$和$L$互质。

1.2 补充问题及解答

1.2.1 A/D和D/A转换问题

• 问题1 ：找出两个不同的连续时间信号，在采样频率为8 kHz时能产生给定序列。答案是$x_1(t) = \cos(12\pi nt)$和$x_2(t) = \cos(172\pi nt)$。
• 问题2 ：若$x_u(t)$的奈奎斯特率为$R_s$，求以下信号的奈奎斯特率：
  • 对于$x_2(2t)$，奈奎斯特率为$4R_s$。
  • 对于$x(t/3)$，奈奎斯特率为$R_s/3$。
  • 对于$x(t) * x(t)$，奈奎斯特率为$R_s$。
• 问题3 ：已知连续时间信号$x_a(t)$在$T_s = 1$ ms时能从其样本$x_a(nT_s)$唯一恢复，$x_u(f)$中的最高频率为500 Hz。
• 问题4 ：假设$x_a(t)$的带宽限制在8 kHz（即$