71、可计算性理论中的多值函数

可计算性理论中的多值函数

1. 引言

多值函数在可计算分析中十分常见，在复杂性理论里也以搜索问题的形式出现，进而催生了如PPAD和PLS等复杂性类的研究。不过，目前仅在可计算分析领域（通过Weihrauch度）对其产生的度结构展开了系统研究。

多值函数$f :⊆ A ⇒ B$本质上是一个集合$f ⊆ A × B$，也就是一种关系。但多值函数的范畴并非关系的范畴。其合成运算的定义为：对于$f :⊆ A ⇒ B$和$g :⊆ B ⇒ C$，$c ∈ (g ◦ f)(a)$当且仅当$f(a) ⊆ dom(g)$且存在$b ∈ f(a)$使得$c ∈ g(b)$，这与关系合成的常规定义有所不同。

多值函数$f :⊆ A ⇒ B$可将问题实例与解关联起来，由此引出偏序关系$f ⪯ g ⇔ dom(f) ⊆ dom(g) ∧ g| {dom(f)} ⊆ f$。可以理解为$f$比$g$更容易，因为$f$的实例可能更少，且$g$中问题实例的解在$f$中同样适用。这意味着任何能解决$g$的程序也能解决$f$。对于任意两个多值函数$f$和$g$，存在一个比它们都容易的最难多值函数，即关于$⪯$存在二元下确界，可表示为$f ∧ g = (f ∪ g)| {dom(f)∩dom(g)}$。

使用多值函数的原因主要有以下几点：
- 自然性 ：从图的消除顺序、博弈中的纳什均衡到连续映射的不动点，许多问题难以唯一确定所需的解。若将这些问题表示为多值函数，甚至能证明某些问题与任何函数都不等价。
- 可实现性良好 ：在可计算性和复杂性理论中，常需将特殊集合$X$、$Y$上的函数