3、图着色与纳什均衡近似问题研究

图着色与纳什均衡近似问题研究

图着色方面

在图着色问题中，对称图是该问题的一类自然困难实例。对于3 - 着色问题，根据Blum着色工具，仅考虑低直径的图就足够了。这里重点研究一类对称图——距离传递图。

1. 距离传递图的定义
   距离传递图 (G=(V, E)) 满足：对于任意顶点对 ((p, q)) 和 ((s, t))，若 (p, q) 以及 (s, t) 之间的最短路径距离相同，则总是存在一个自同构将 (p) 映射到 (s)，将 (q) 映射到 (t)。
2. 距离传递图的性质
   • 定义 (\Gamma^k(p)) 为 (p) 的第 (k) 个邻域（即与 (p) 距离为 (k) 的顶点集）。若一对顶点 (p, q) 的距离为 (k)，则 (|\Gamma^{k - 1}(p) \cap \Gamma(q)|)、(|\Gamma^k(p) \cap \Gamma(q)|)、(|\Gamma^{k + 1}(p) \cap \Gamma(q)|) 这三个数仅取决于 (k)，分别记为 (c_k)、(a_k) 和 (b_k)。第 (k) 个邻域的大小 (|\Gamma^k(p)|) 用 (n_k) 表示。
   • 谱性质 ：距离传递图 (G) 有 (\Delta + 1) 个不同的特征值，这些特征值是矩阵 (B) 的特征值：
     [
     B =
     \begin{pmatrix}
     a_0 & c_1 \
     b_0 & a_1 & c_2 \