迪杰斯特拉算法（Dijkstra）证明

首先，这篇文章是在讲《图论》时候写文章

（所以，还是以理论为主，以后有空的时候，会把代码发上来，不过我觉得大家看完理论，如果讲得好，代码也就比较容易了。如果讲得不好，网上的代码也是大把，不看这篇文章也罢了）

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任务目标：

给个起点S，找到图中每个点距离起点S的最小距离（考虑联通性的问题）。

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算法思路概述

先选第一个距离S最近的点。之后，更新其他图中的点到S的距离。更新原因：新增加的最近点可以作为一个桥。

• 输入是：点之间的距离矩阵。
• 维护是：上面矩阵中的某一行

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下图为老师的课件内容部分，我觉得虽然详尽，但也有些枯燥。可能是为了凝练语言吧。如果有耐心看的话，倒真的是一篇非常好的文章。
我在后面会用自己的语言阐述，可能会比较清晰（但废话可能也比较多）。

其中前面的黄色部分是我自己标注的（老师写的），后面的黄色部分是我自己写的。

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阐述

1. 首先，选定一个点$v0$，先假设所有的点到某个点的路径都是无穷（当然自己到自己肯定得是长度是0…）。
2. 然后确定一个集合$S$，这集合表示已经被访问的过点。（那么没有被访问过的点，也是很容易解决的…），这里用个bool数组什么的标记一下吧。
3. 之后，先更新所有点到这个$v0$的距离。怎么更新呢？
4. 所有点通过已经被访问过的点到达$v0$的距离，在结合$d(v0,vi)=mi{n}_{vj\in (S)}(d(v0,vj)+w(vj,vi))$ ( 一般就是新增加的那个点考虑下就好了 )。就是在中间搭一个桥，如果，通过这个桥的点会让这个路变得更近，就更新这个路径的长度。
5. 然后选个最近的点，然后把这个最近的点标记访问过。纳入到集合$S$
6. 然后，一直到把所有的点都纳入进去之后，就没什么事情了~

这里面，有很多的问题，乍一看都是有点合情合理，但是却让人一下子想不明白的。
归结到一条，就是，为什么这样子，就能保证一定会是得到了所有的点，到这个点$v0$的最短距离呢？

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证明（不严格的证明）

1. 首先，我们能保证，拿到的第一个点，一定是跟$v0$最近的点。 因为，首先我们选择的是与$v0$直接相连的点中到$v0$最近的点。如果之后的选的方法得到点，有能够得到的点到$v0$的距离小于一开始选的这个点的话，这是不科学的。因为，我们每次选点，都是根据我们维护的一个数组。这个数组的变化过程是，以这个数组中很早就被选中的点的为中转的点，然后，再加上这个中转的点到这个的点的距离，来替代的。但是，我们知道，任意两点的距离都是大于0的，那么，更新的基本算法是“加法”那么更新之后， 怎么可能得到的数是比之前的数要小呢？
2. 同样的道理，第二次被选的点，一定是比以后要选的点都要更近$v0$一点。（最多是相等）。有没有一种感觉，就跟堆排序的方法是一样的。每次，都是把距离$v0$最近的点给“生产”出来了。然后不断迭代出所有与v0的点更近的点。

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证明（较为严格的证明）

通过归纳法

(1) $i=0$
首先，还是一样，根据上面的方式，来依次产生出这些点。这是一个序列，称其为$V=v0,v1,v2,....,vn$这n个点。$vi$对应的距离就是$di$。

(2) 设$i<=k$时成立，下面看 $i=k+1$的情况

$vi$通过上述方法生成的点，所得到的到$v0$的距离不是最近的，也就是说，还存在一条路，使得$vi$到$v0$的距离小于$di$。
由于，$di$的产生方法，我们可以知道，这样的点，必定通过了后面的点（$v_{i>=k+2}$）。但是，我们同样知道$v_{i>=k+2}$到$v0$的距离一定是会大于$v_{i<=k}$的。（递增的特点）。所以，只要是通过了后面的点，到达$v0$的距离，一定是大于等于，我们只通过前面的点$v_{i<=k}$到达所致的。但是，这与我们之前的假设有矛盾。这样我们就知道了， $i=k+1$时候也是成立的！

综上所述…