Dijkstra算法正确性的证明

Dijkstra 算法正确性的证明

问题

给定一个非负权边的图,规定起点为uuu,求从uuu出发到每一个节点的最短路径。(求解非负权图上单源最短路径)

流程简述

将结点分成两个集合:已确定最短路长度的点集(记为SSS集合)的和未确定最短路长度的点集(记为TTT集合)。

一开始所有的点都属于TTT集合,dis(s)=0\mathrm{dis}(s) = 0dis(s)=0,其他点的dis\mathrm{dis}dis均为+∞+\infty+

然后重复这些操作:

  1. TTT集合中,选取一个最短路长度最小的结点,移到SSS集合中;
  2. 对那些刚刚被加入SSS集合的结点的所有在TTT内的邻接点更新dis\mathrm{dis}dis

直到TTT集合为空,算法结束。

正确性证明

显然,Dijkstra算法的正确性取决于命题「每当一个结点vvv加入SSS集合时,此时dis(v)\mathrm{dis}(v)dis(v)对应的路径r:u→vr : u \rightarrow vr:uv的长必为全局最短路径长D(v)D(v)D(v)」的真伪。

(反证法)假设存在另一条路径r′:u→vr' : u \rightarrow vr:uv为全局最短路径,即
D(v)<dis(v) D(v) < \mathrm{dis}(v) D(<

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