Dijkstra算法正确性的证明

Dijkstra 算法正确性的证明

问题

给定一个非负权边的图，规定起点为$u$，求从$u$出发到每一个节点的最短路径。（求解非负权图上单源最短路径）

流程简述

将结点分成两个集合：已确定最短路长度的点集（记为$S$集合）的和未确定最短路长度的点集（记为$T$集合）。

一开始所有的点都属于$T$集合，$\mathrm{dis}(s)=0$，其他点的$\mathrm{dis}$均为$+\infty$。

然后重复这些操作：

1. 从$T$集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到$S$集合中；
2. 对那些刚刚被加入$S$集合的结点的所有在$T$内的邻接点更新$\mathrm{dis}$。

直到$T$集合为空，算法结束。

正确性证明

显然，Dijkstra算法的正确性取决于命题「每当一个结点$v$加入$S$集合时，此时$\mathrm{dis}(v)$对应的路径$r:u\to v$的长必为全局最短路径长$D(v)$」的真伪。

（反证法）假设存在另一条路径$r^{\prime }:u\to v$为全局最短路径，即
$$D(v)<\mathrm{dis}(v)$$
有一个非常重要的点：$r^{\prime }$的结点中除了终点$v\in T$，必然存在另一点$t\in T$。

证明：（反证法）假设$r^{\prime }$是只有终点$v$在$T$内的路径。

根据操作2，此时$\mathrm{dis}(v)$已经被$v$的所有在$S$内的前驱结点更新（不单只是$v$，$T$内所有的结点也被所有相应的前驱结点更新），对应的路径$r$已经是所有只有终点$v$在$T$内的路径$u\to v$中最短的一条路径，因此不存在另一条只有终点$v$在$T$内的路径$r^{\prime }$，使得$r^{\prime }$的路径长$|r^{\prime }|$比$r$的路径长$|r|$短，与假设矛盾。

故$r^{\prime }$的结点中除了终点$v\in T$，必然存在另一点$t\in T$。

因此不妨设路径$r^{\prime }$中第一个在$T$内的结点为$t$。

对于从$T$中通过Dijkstra算法选出来的结点$v$，有另一个非常重要的点：所有在$T$内的结点中，$\mathrm{dis}(v)$最小。因此
$$\mathrm{dis}(t)\ge \mathrm{dis}(v)$$
在全局最短路径$r^{\prime }$中，设局部路径
$$s_1:u\to t{s}_2:t\to v$$
根据操作2，此时$\mathrm{dis}(t)$已经被$t$的所有在$S$内的前驱结点更新，因此$\mathrm{dis}(t)$对应的路径已经是只有终点$t$在$T$内的最短路径。因为$s_1\subseteq r^{\prime }$，所以$s_1$必为$u\to t$的全局最短路径，又因为$s_1$是只有终点$t$在$T$内的路径，故$s_1$也为只有终点$t$在$T$内的最短路径，因此有
$$D(t)=\mathrm{dis}(t)$$
在非负权图中，有
$$|s_2|\ge 0$$
根据假设（路径$r^{\prime }:u\to t\to v$为全局最短路径），有
$$D(v)=D(t)+|s_2|=\mathrm{dis}(t)+|s_2|\ge \mathrm{dis}(t)\ge \mathrm{dis}(v)>D(v)$$
这显然不成立，原命题得证。