Catalan数

ZY_discovery

于 2017-03-18 13:45:22 发布

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分类专栏：算法基础学习

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Catalan数是一类重要的数，在组合数学中用于计数多种组合结构，如Dyck词、括号表达式、二叉树、不越过对角线的单调路径等。递推公式为h(n) = (4n-2)/(n+1)*h(n-1)，n>=2，并有多种应用场景，包括二进制数的特定排列、凸多边形的三角形划分等。

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事情是这样的，某天在洛谷题库乱翻题写，突然看到一道普及-的东西【P1044 栈】，觉得啊，可以娱乐一下身心，就点开了，自己水了一下之后，照例围观题解，发现了这是“卡特兰数”的裸题【在此之前也听说过似乎】，然后一脸憧憬地去百度，get以下内容：

Catalan数是用来解决以下类似问题的:

n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的个数不小于0的个数，试求满足这条件的数有多少？

那么，卡特兰数怎么求呢？

Catalan数的定义令h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2

该递推关系的解为：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数）

以下提供几种求解方式：

1.h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1) （n>1） h(0)=h(1)=1

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
double dp[20];
int main() 
{
    scanf("%d",&n);
    dp[0]=dp[1]=1;//卡特兰数列的前两项（和斐波拉契数列没差）
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        double temp=(4*i-2.0)/(i+1.0);//会有小数部分
        dp[i]=temp*dp[i-1];//卡特兰数列递推式
    }
    printf("%.lf\n",dp[n]);
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[30];
using namespace std;
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	f[0]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++){
			f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
		}
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

其实重点应该是应用。。。：【from Wiki】

应用

组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用C_n=3和C_n=4举若干例：

C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

C_n表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

C_n表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有 ${2n \choose n}$ 个，下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而 $C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 。证毕。