AtCoder AGC001F Wide Swap 　&&　 NOIP2017模拟赛１０.８Ｔ２_fj有个很奇怪的习惯,他把他所有的机密信息都存放在一个叫机密盘的磁盘分区里,然而-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ZY_discovery/article/details/78181210

博客介绍了AtCoder AGC001F问题，讨论如何通过特定操作得到字典序最小的排列。作者提到将问题转化为寻找字典序最小的拓扑序，并利用线段树和小根堆解决，同时分享了错误教训和类似题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送：http://agc001.contest.atcoder.jp/tasks/agc001_f
官方菌：http://agc001.contest.atcoder.jp/data/agc/001/editorial.pdf

题意：给你一个n的排列P，以及一个数字Ｋ，你可以进行的操作为：
对于两个满足 |i − j| ≥ K 且 |P i − P j | = 1 的下标 i 与 j,交换 P i 与 P j
问你你可以得到的字典序最小的排列是什么．

ｗｏｃ这题有意思极了［尤其是看了题解以后］
考试的时候用O(n^2)水到了９０，不过交到ＡｔＣｏｄｅｒ上就完全不行了．．

问题的转换巧妙无比啊．

１．如果我们令t[a[i]]=i，我们知道t的字典序越小，ａ的字典序必定也越小（很好理解）那么问题可以转化成：
你有一个排列ｔ,相邻的两个数字t i,t(i+1)当｜t i－t(i+1)｜＞＝Ｋ的时候，你可以交换这两个数字，我们要让１尽量靠前，在１靠前的条件下２尽量靠前．．．以此类推，求最优的序列

那么我们可以发现，对于ｔ中的两个数字x,y，如果|x-y|<Ｋ，那么这两个数字永远都不能交换，意思就是，ｘ与y的相对位置是不会改变的，x在y左边那么x就永远在y左边．[*]

*[2017-10-11补充][易dalao提问解锁新点]:
我们考虑一个这样的情况,看是否可以交换i,j的值:
ai____aj_____________al_
其中i和j之间的距离 < K , j与l的距离 > K
我们似乎可以先交换j,l位置的值,再交换i,j位置的?
我们这样看看:
i与l可换则:|i-j|>=K && al=ai+1(-1情况相同)
在结合j与l可换则得:
设初始时ai=num,则al=num+1,aj=num-1;
从左到右排布为:num,num-1,num+1;
交换后:num+1,num,num-1;
我们发现num和num-1(原来 < K类关系对相对位置没!有!变!

对于这个问题，我们可以发现两个排列ｔ和Ｒ，如果t和R之中这样的(x,y)相对位置是相同的，那么t一定可以和Ｒ转换．Because:
我们永远都可以通过交换t中相邻的数字来减少不同．

２．巧妙一步：满足这样的(x,y)相对位置与原排列t相同的，字典序最小的排列．

你有没有发现，这种谁必须在谁前面的东西－－拓扑序？

问题继续变化为：

３．你有一个排列t，通过以下方式建立了一个DAG：
|t_i　＜　t_j|<Ｋ且　i < j　的两个点由　t_i　向　t_j连边，求字典序最小的拓扑序．

注意每个这样都加边的话，边的数量可能会达到ｎ^2是会炸的．．所以只需要往最近的连边就好，用线段树查找维护就好

字典序最小的拓扑序，只需要吧大根堆换成小根堆就好～

ＰＳ：
１．最开始写线段树的查询的时候脑一抽当l==r的时候才return，结果．．Ｔ成狗．．．

２．heｙｅｙｅ上课的时候提到了一道很像的题：ＨＮＯＩ菜肴制作．
然而考试前一天还在写一道拓扑序的题目：ＮＯＩ２０１０航空管制＝　＝

３．博大精深博大精深博大精深．．．．

４．我真是弱我真是弱我真是弱．．．

（贴个n^2的吧）:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define maxn 500010
using namespace std;
int n,k;
int a[maxn];
int p[maxn];
void file(){
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
}
void solve(int now,int i){
    int hh=p[a[now]-1];//printf("%d\n",hh);
    if(hh>i)return ;
    while((hh-now)>=k && hh && hh<i){
        p[a[now]-1]=now;
        p[a[now]]=hh;
        swap(a[hh],a[now]);
        hh=p[a[now]-1];
    }
}
int main(){
    file();
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        p[a[i]]=i;
    }
    for(int i=k+1;i<=n;i++){
        int no=p[a[i]+1];
        while((i-no)>=k && no){
        //  printf("%d %d\n",a[i],a[no]);
            p[a[i]+1]=i;
            p[a[i]]=no;
            swap(a[no],a[i]);
            solve(no,i);
            no=p[a[i]+1];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d\n",a[i]);
    }
    return 0;
}

（接下来是正解）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<ctime>
#define maxn 500010
using namespace std;
int n,k;
int a[maxn];
int t[maxn];
void file(){
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
}
int tr[maxn<<2];
struct node{
    int v,nxt;
}e[maxn<<2];
int head[maxn],cnt;
void add(int u,int v){
    e[++cnt].v=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
int in[maxn];
void pushup(int u){
    tr[u]=max(tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}
void insert(int u,int l,int r,int val,int pos){
    if(l==r){
        tr[u]=val;return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)insert(u<<1,l,mid,val,pos);
    else insert(u<<1|1,mid+1,r,val,pos);
    pushup(u);
}
int query(int u,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l && qr>=r)return tr[u];
    int mid=(l+r)>>1;
    int res=0;
    if(ql<=mid)res=max(res,query(u<<1,l,mid,ql,qr));
    if(qr>mid)res=max(res,query(u<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
    return res;
}
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> >q;
int ans[maxn];
void gettop(){
    for(int i=1;i<=n;i++)if(in[i]==0)q.push(i);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(q.empty())return ;
        int u=q.top();q.pop();
        ans[i]=u;
        for(int j=head[u];j;j=e[j].nxt){
            int v=e[j].v;
            in[v]--;
            if(in[v]==0)q.push(v);
        }
    }
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=0;
    while(ch<'0' || ch>'9'){
        if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9'){
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int main(){
    file();
    n=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        t[a[i]]=i;
    }
//  cerr<<clock()/1000<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++){//printf("*\n");
        int pos=query(1,1,n,t[i]+1,t[i]+k-1);
        insert(1,1,n,i,t[i]);
        add(t[pos],t[i]);
        if(pos!=0 && t[pos]!=0){
            in[t[i]]++;
        }
    }
//  cerr<<clock()/1000<<endl;
    gettop();
//  cerr<<clock()/1000<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[ans[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",a[i]);
//  cerr<<clock()/1000<<endl;
    return 0;
}