凸分析有关定理的证明
1 与凸集有关的定理
引理2.2 设 I I I为任意的索引集，如果集合 X i ⊂ R n , i ∈ I X_i\sub{\mathbb R}^n,i\in I Xi⊂Rn,i∈I是凸集，则集合 X = ∩ i ∈ I X i X={\cap}_{i\in I}X_i X=∩i∈IXi也是凸集。
证明：
设
x
1
x_1
x1和
x
2
x_2
x2是集合
X
X
X中的任意两点，则
x
1
∈
X
i
x_1\in X_i
x1∈Xi和
x
2
∈
X
i
x_2\in X_i
x2∈Xi；因为
X
i
X_i
Xi是凸集，所以对于任意的
0
≤
α
≤
1
0\leq \alpha \leq 1
0≤α≤1，都有
α
x
1
+
(
1
−
α
)
x
2
∈
X
i
\alpha x_1+\left( 1-\alpha \right)x_2 \in X_i
αx1+(1−α)x2∈Xi；以上对于所有的
i
i
i都成立，故
α
x
1
+
(
1
−
α
)
x
2
∈
X
\alpha x_1+\left( 1-\alpha \right)x_2 \in X
αx1+(1−α)x2∈X，因此
X
X
X是凸集。
引理2.3设 X X X和 Y Y Y都是 R n {\mathbb R}^n Rn上的凸集， c c c和 d d d是实数，则集合 Z = c X + d Y Z=cX+dY Z=cX+dY是凸集。
证明：
如果
z
1
∈
Z
z_1\in Z
z1∈Z，则
z
1
=
c
x
1
+
d
y
1
z_1=cx_1+dy_1
z1=cx1+dy1，其中
x
1
∈
X
,
y
1
∈
Y
x_1\in X,y_1\in Y
x1∈X,y1∈Y，同样的
z
2
∈
Z
z_2\in Z
z2∈Z也可以表示为
z
2
=
c
x
2
+
d
y
2
z_2=cx_2+dy_2
z2=cx2+dy2，其中
x
2
∈
X
,
y
2
∈
Y
x_2\in X,y_2\in Y
x2∈X,y2∈Y。因此，对于任意
α
∈
[
0
,
1
]
\alpha \in [0,1]
α∈[0,1]，有
α
z
1
+
(
1
−
α
)
z
2
=
α
(
c
x
1
+
d
y
1
)
+
(
1
−
α
)
(
c
x
2
+
d
y
2
)
=
c
[
α
x
1
+
(
1
−
α
)
x
2
]
+
d
[
α
y
1
+
(
1
−
α
)
y
2
]
\begin{aligned} & \alpha z_1 +\left( 1-\alpha \right)z_2 \\ = & \alpha\left( cx_1+dy_1\right)+\left( 1-\alpha \right)\left( cx_2+dy_2\right) \\ = &c[\alpha x_1+\left( 1-\alpha \right)x_2]+d[\alpha y_1+\left( 1-\alpha \right)y_2] \end{aligned}
==αz1+(1−α)z2α(cx1+dy1)+(1−α)(cx2+dy2)c[αx1+(1−α)x2]+d[αy1+(1−α)y2]
因为
X
X
X和
Y
Y
Y是凸集，所以
α
x
1
+
(
1
−
α
)
x
2
∈
X
\alpha x_1+\left( 1-\alpha \right)x_2 \in X
αx1+(1−α)x2∈X，
α
y
1
+
(
1
−
α
)
y
2
∈
Y
\alpha y_1+\left( 1-\alpha \right)y_2 \in Y
αy1+(1−α)y2∈Y，因此
α
z
1
+
(
1
−
α
)
z
2
∈
Z
\alpha z_1 +\left( 1-\alpha \right)z_2 \in Z
αz1+(1−α)z2∈Z，因此
Z
Z
Z是凸集，证毕。
引理2.6 集合
c
o
n
v
X
{\bf conv}X
convX是
X
X
X中的点的所有凸组合的集合。
注：
c
o
n
v
X
{\bf conv}X
convX表示
X
X
X的凸包，其定义为所有包括
X
X
X的凸集的交集。
证明：
用
Y
Y
Y表示
X
X
X中的点的所有凸组合的集合，需要证明
c
o
n
v
X
=
Y
{\bf conv}X=Y
convX=Y，即
c
o
n
v
X
⊂
Y
{\bf conv}X \sub Y
convX⊂Y且
c
o
n
v
X
⊃
Y
{\bf conv}X \supset Y
convX⊃Y。
首先证明
c
o
n
v
X
⊂
Y
{\bf conv}X \sub Y
convX⊂Y：
对于任意
x
∈
X
x\in X
x∈X，
x
x
x是其自身的凸组合，所以
x
∈
Y
x\in Y
x∈Y
所以
X
⊂
Y
X\sub Y
X⊂Y
如果
y
1
∈
Y
y_1\in Y
y1∈Y，
y
2
∈
Y
y_2 \in Y
y2∈Y，则
y
1
=
α
1
x
1
+
⋯
+
α
m
x
m
y
2
=
β
1
z
1
+
⋯
+
β
l
x
l
\begin{aligned} y_1 &= {\alpha}_1x_1+\cdots+{\alpha}_mx_m \\ y_2 &= {\beta}_1z_1+\cdots+{\beta}_lx_l \end{aligned}
y1y2=α1x1+⋯+αmxm=β1z1+⋯+βlxl
其中
α
1
,
…
,
α
m
,
β
1
,
…
,
β
l
{\alpha}_1,\ldots,{\alpha}_m, {\beta}_1,\ldots, {\beta}_l
α1,…,αm,β1,…,βl为非负实数，且
∑
i
=
1
m
α
i
=
1
\sum_{i=1}^m {\alpha}_i=1
∑i=1mαi=1，
∑
i
=
1
l
β
i
=
1
\sum_{i=1}^l {\beta}_i=1
∑i=1lβi=1，
x
1
,
…
,
x
m
,
z
1
,
…
,
z
l
∈
X
x_1,\ldots,x_m,z_1,\ldots,z_l \in X
x1,…,xm,z1,…,zl∈X.
对于任意
λ
∈
(
0
,
1
)
\lambda\in (0,1)
λ∈(0,1)，点
λ
y
1
+
(
1
−
λ
)
y
2
=
λ
α
1
x
1
+
⋯
+
λ
α
m
x
m
+
(
1
−
λ
)
β
1
z
1
+
⋯
+
(
1
−
λ
)
β
l
z
l
\lambda y_1+(1-\lambda)y_2=\lambda \alpha_1 x_1+\cdots+\lambda \alpha_m x_m+(1-\lambda) \beta_1 z_1+\cdots+(1-\lambda) \beta_l z_l
λy1+(1−λ)y2=λα1x1+⋯+λαmxm+(1−λ)β1z1+⋯+(1−λ)βlzl是
x
1
,
…
,
x
m
,
z
1
,
…
,
z
l
x_1,\ldots,x_m,z_1,\ldots,z_l
x1,…,xm,z1,…,zl的凸组合，
∴
λ
y
1
+
(
1
−
λ
)
y
2
∈
Y
\lambda y_1+(1-\lambda)y_2 \in Y
λy1+(1−λ)y2∈Y,
∴
Y
Y
Y是凸集
Y
Y
Y是包含X的凸集，根据
c
o
n
v
X
{\bf conv}X
convX的定义，有
c
o
n
v
X
⊂
Y
{\bf conv}X \sub Y
convX⊂Y
接下来证明
c
o
n
v
X
⊃
Y
{\bf conv}X \supset Y
convX⊃Y（细节有待完善） ：
如果
y
∈
Y
y \in Y
y∈Y，
y
y
y作为
X
X
X中的点的一个凸组合，必定属于每一个包含
X
X
X的凸集
∴
c
o
n
v
X
⊃
Y
{\bf conv}X \supset Y
convX⊃Y
扫一扫
8763
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
