Codeforces 691E Xor-sequences【矩阵快速幂，好题】

题目链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/691/

题意：

给定序列，从序列中选择$k(1 \le k \le 1e18)$个数（可以重复选择），使得得到的排列满足${x_i} 与{x_{i+1}}$异或的二进制表示中$1$的个数是$3$的倍数。问长度为$k$的满足条件的 序列有多少种？

分析：

首先每个元素自己构成一个长度为$1$的满足条件的序列。
其次我们可以预处理出满足条件的$v_i, v_j$，就可以得到一个横纵为$n$的$01$矩阵。这还是很显然的。此时我们得到了以$v_i$开头，$v_j$结尾的长度为$2$的序列个数。
接下来我们发现，两个矩阵相乘，矩阵$c$为新得到的矩阵，此时矩阵$a = b$,$c[i][j] = a[i][1] * b[1][j] + a[i][2] * b[2][j]+...+a[i][n]*b[n][j]$，我们得到的即为以$a_i$开头，$a_J$结尾的长度为$3$的序列个数！
接下来用矩阵$c$更新矩阵$a$，再与最初的$01$矩阵，即$b$相乘，得到的又为开头元素为$a_i$，结尾元素为$a_j$的长度为$4$的序列个数！
依次乘$k-1$次即得到结果，这部分可以用矩阵快速幂进行优化。
最后把得到的矩阵中的每个元素的值加起来即为长度为$k$的满足条件的序列个数！
实质上就是$floyd$求长度为 k <script type="math/tex" id="MathJax-Element-344">k</script>的道路。
巧妙的利用矩阵乘法的性质解决问题！这很矩阵！

代码：

/*************************************************************************
    > File Name: R.cpp
    > Author: jiangyuzhu
    > Mail: 834138558@qq.com 
    > Created Time: 2016/7/15 18:51:12
 ************************************************************************/

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << ": " << x << "  "
#define pl(x) cout << #x << ": " << x << endl;
#define sa(x) scanf("%d",&(x))
#define sal(x) scanf("%I64d",&(x))
typedef long long ll;
const int maxn = 105, mod = 1e9 + 7;
ll a[maxn];
int n;
const int N = 105;
struct Matrix
{
    int row,cal;
    long long m[N][N];
};
Matrix init(Matrix a, long long t)
{
    for(int i = 0; i < a.row; i++)
        for(int j = 0; j < a.cal; j++)
            a.m[i][j] = t;
    return a;
}
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    ans.row = a.row, ans.cal = b.cal;
    ans = init(ans,0);
    for(int i = 0; i < a.row; i++)
        for(int j = 0; j < b.cal; j++)
            for(int k = 0; k < a.cal; k++)
                ans.m[i][j] = (ans.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j])%mod;
    return ans;
}
Matrix quick_pow(long long k, Matrix A)
{
    Matrix I;
    I.row = n, I.cal = n;
    I = init(I, 0);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        I.m[i][i] = 1;
    }
    while(k){
        if(k & 1) I = mul(I, A);
        A = mul(A, A);
        k >>= 1;
    }
    return I;
}
int count(ll a)
{
    int ans = 0;
    while(a){
        if(a & 1) ans++;
        a >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(void)
{
    sa(n);
    ll k;sal(k);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        sal(a[i]);
    }
    Matrix A;
    A.row = n, A.cal = n;
    A = init(A, 0);
    for(int i = 0 ; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(count(a[i] ^ a[j]) % 3 == 0){
                A.m[i][j] = 1;
            }
        }
    }
    ll ans = 0;
    A = quick_pow(k - 1, A); 
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            (ans += A.m[i][j]) %= mod;
        }
    }
    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}