codeforces 691E 矩阵快速幂+dp

最新推荐文章于 2021-04-05 22:18:33 发布

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本文解析CodeForces 691E题目，利用矩阵快速幂与动态规划解决组合计数问题。给出详细步骤与核心代码实现。

codeforces 691E 矩阵快速幂+dp

传送门：https://codeforces.com/contest/691/problem/E

题意：给定长度为n的序列，从序列中选择k个数（可以重复选择），使得得到的排列满足xi与xi+1异或的二进制中1的个数是3的倍数。问长度为k的满足条件的序列有多少种？

题解：dp状态定义为，在前i个数中以a_j为结尾的方案数量

则转移为

因为是求和的转移，可以用矩阵快速幂将O（n）的求和加速为log级别

接下来的问题就是然后填系数了，因为要累加，所以只要时，我们将矩阵的第i行第j列的系数填为1即可

目的：

由于也是一个求和的转移，所以实际上我们将所得到的系数矩阵求一个k次幂即可得到答案

总复杂度为矩阵乘法的复杂度*矩阵快速幂的复杂度 O(n^3*log₂n)

代码：

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 * 　　　　　　　　　┃　　　┃　Code is far away from bug with the animal protecting　　　　　　　　　　
 * 　　　　　　　　　┃　　　┃   神兽保佑,代码无bug
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 */
// warm heart, wagging tail,and a smile just for you!
//                                                                     ███████████
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#include <set>
#include <map>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> pLL;
typedef pair<LL, int> pLi;
typedef pair<int, LL> pil;;
typedef pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long uLL;
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define bug printf("*********\n")
#define FIN freopen("input.txt","r",stdin);
#define FON freopen("output.txt","w+",stdout);
#define IO ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
#define debug1(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]\n"
#define debug2(x,y) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<" "<<#y<<" "<<(y)<<"]\n"
#define debug3(x,y,z) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<" "<<#y<<" "<<(y)<<" "<<#z<<" "<<z<<"]\n"
LL read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-')f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
const double eps = 1e-8;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 3e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
// 给定长度为n的序列，从序列中选择k个数（可以重复选择），
// 使得得到的排列满足xi与xi+1异或的二进制中1的个数是3的倍数。
// 问长度为k的满足条件的序列有多少种？
LL a[maxn];
LL dp[105][105];
struct matrix {//矩阵
    int n;//长
    int m;//宽
    long long a[105][105];
    matrix() {//构造函数
        n = 2;
        m = 2;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    matrix(int x, int y) {
        n = x;
        m = y;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    void print() {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                printf("%d ", a[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    void setv(int x) {//初始化
        if(x == 0) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
        }
        if(x == 1) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
            for(int i = 1; i <= n; i++) a[i][i] = 1;
        }
    }
    friend matrix operator *(matrix x, matrix y) { //矩阵乘法
        matrix tmp = matrix(x.n, y.m);
        for(int i = 1; i <= x.n; i++) {
            for(int j = 1; j <= y.m; j++) {
                tmp.a[i][j] = 0;
                for(int k = 1; k <= y.n; k++) {
                    tmp.a[i][j] += (x.a[i][k] * y.a[k][j]) % mod;
                }
                tmp.a[i][j] %= mod;
            }
        }
        return tmp;
    }
};
int n;
LL  k;
matrix fast_pow(matrix x, long long k) { //矩阵快速幂
    matrix ans = matrix(n, n);
    ans.setv(1);//初始化为1
    while(k > 0) { //类似整数快速幂
        if(k & 1) {
            ans = ans * x;
        }
        k >>= 1;
        x = x * x;
    }
    return ans;
}

int cal(LL x) {
    int cnt = 0;
    while(x) {
        if(x & 1 ) {
            cnt++;
        }
        x /= 2;
    }
    return cnt;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    FIN
#endif
    scanf("%d%lld", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
    }
    matrix xor_mat = matrix(n, n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            if(cal(a[i]^a[j]) % 3 == 0 )    xor_mat.a[i][j] = 1;
            else xor_mat.a[i][j] = 0;
        }
    }
    xor_mat = fast_pow(xor_mat, k - 1);
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            ans += xor_mat.a[i][j];
        }
        ans %= mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}