树状数组详解（单点修改和区间查询）

引入

我们来看下面的例题：（洛谷 P3374 【模板】树状数组 1）

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某一个数加上 $x$
2.求出某区间每一个数的和

我们有哪些方法呢？

1. 暴力。单点修改的时间复杂度为$O(1)$，区间查询的复杂度为$O(n)$。
2. 前缀和。单点修改的时间复杂度为$O(n)$，区间查询的复杂度为$O(1)$。

我们可以看到，两种做法都有一个操作是$O(1)$的，但也都有一个操作是$O(n)$的。

那有没有什么两全其美的做法呢？当然有了。有的人可能就会喊了：线段树！

线段树固然好，但它也有它的缺点：算法常数大，编写难度高。

那就轮到我们的主角登场了：树状数组！

树状数组

树状数组顾名思义，不是树，而是树状的数组。树状数组常数小，编写难度小，且能够解决线段树所能解决的部分问题。

是的，是部分问题。能用线段树解决的问题，不一定能用树状数组解决。而能用树状数组解决的问题，全都能被线段树解决。

但是，由于上述的优点，树状数组仍然是一种十分重要的数据结构。

我们来看一下树状数组的结构：

红色的格子代表树状数组，白色的长条是为了便于理解。
我们用数组$c[]$来存储树状数组，$a[]$来存储原始数据。
我们可以看到，每个序号都有它的红色格子。我们以序号$4$为例，来分析一下：序号$4$对应的红色格子以及左边的长条覆盖了下面$1$ ~ $4$的位置，表示$c[4]$存储的是$a[1]$ ~ $a[4]$的和。

至于$c[?]$，存储$a[?]$到$a[?]$的和，这是怎么算出来的，这是树状数组的关键，留到最后讲。

区间查询、单点修改

这样，我们就可以实现区间查询了。比如说，我们要求$[3,7]$内每个数的和，利用前缀和的思想，可以用$[1,7]$的和减去$[1,2]$的和。$[1,2]$的和，即为$c[2]$的值，$[1,7]$的和，即为$c[4]+c[6]+c[7]$。

至于单点修改，若我们要修改a[2]的值，因为只有$c[2]$，$c[4]$，$c[8]$中有$a[2]$，所以我们只需要修改$c[2]$，$c[4]$，$c[8]$的值就可以了。

这样，我们就做到了$O(lo{g}_{2}n)$的区间查询和单点修改。

lowbit的实现

所以，只剩下最重要的部分了，也就是$c[]$存储和的问题。

注意，这个地方有点难理解，而且会用到二进制，做好思想准备。

这里，我们会用到一个叫$lowbit$的东西。所谓$lowbit$，就是“求二进制下最低位$1$的运算”。

不明白？不要紧。让我们来模拟一下。以$6$为例：

$(6{)}_{10}$的二进制为$(110{)}_2$。

从右往左数，数到第一个$1$。

第一个$1$及其右边的部分为$10$。

$(10{)}_2$的十进制是$(2{)}_{10}$。

所以$c[6]$储存的就是包括$6$向左数的$2$个数，即$a[5]$和$a[6]$。

对照一下树状数组的结构图，是不是？

那$lowbit$是怎样实现的呢？

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

就这么简单。那原理呢？
我们知道，计算机中的负数是用补码存储的，补码就是反码$+1$，一个正数转变为负数，就是原码转化为补码的过程。我们以$10010$为例：
原码：$10010$
反码：$01101$（原码取反）
补码：$01110$（反码$+1$，表示负数）
可以看到，补码的前一部分与原码相反，后一部分与原码相同，而相同的那一部分就是我们要求的$lowbit$。
这样，我们就解决了最后一个问题。

完整代码

（洛谷 P3374 【模板】树状数组 1）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,q;
int op,x,y;
int a[1000010];
int c[1000010];
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
void update(int x,int k)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
		c[x]+=k;
}
int query(int x)
{
	int res=0;
	for(;x>=1;x-=lowbit(x))
		res+=c[x];
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		update(i,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
		if(op==1)
			update(x,y);
		else
			printf("%d\n",query(y)-query(x-1));
	}
	return 0;
}