树状数组（单点修改和区间查询问题）

今天刚学了树状数组，理解还不是很透彻，写点东西加深理解、记忆

结构

C数组表示树状数组，A数组表示普通的数组

概念和性质

• lowbit：顾名思义，将一个十进制数转换为二进制，最低位1所对应的值就是该数的lowbit值。lowbit(a)=(a&(-a))， 例如5转换为二进制数为101，最低位1对应的值为1，那么lowbit(5)就是1。显然，如果这个二进制数末尾0的个数为k，那么lowbit(a)=2^k。
• 在树状数组中，元素C[i]是lowbit(i)个A数组元素的和。
• 在树状数组中，两个连接的元素C[i]和C[j]（如C[3]和C[4]、C[4]和C[8]），他们的下标相差lowbit(i)。也就是说i+lowbit(i)=j，j-lowbit(i)=i。这在下面的单点修改和区间查询中都不可或缺。
• 区间查询用到了前缀和知识：求[a,b]的和，可以用SUM[b]-SUM[a-1]。
• 观察上图，显然，在树状数组中，SUM[i]!=C[1]+C[2]+C[3]+…+C[i]，而是C[i]+C[i-lowbit[i]]+…,例如SUM[3]=C[3]+C[3-1]=C[3]+C[2]、SUM[7]=C[7]+C[7-1]+C[6-2]+C[4-2]=C[7]+C[6]+C[4]+C[2]。

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下面用一个模板题来讲解：洛谷 树状数组1

一个很常见也很简单的单点修改和区间查询问题。

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在学树状数组前有两种比较常见的解法：

1. 单点修改直接修改值，区间查询时间复杂度是O(n)。
2. 使用前缀和优化区间查询，这样可以把查询的时间复杂度优化到O(1)，但是单点修改的复杂度会上升到O(n)。

而使用树状数组的话两者的时间复杂度都是O(logn)。

先来看单点修改，显然，结合上面给出的性质，修改了树状数组C[i]的值之后，所有涵盖了C[i]的元素全都要变，又因为C[i]的上一元素C[j]，有i+lowbit(i)=j，那么我们只需不断向上递推，把所有包含i的元素都修改即可。

再来看区间查询，上面的最后一条性质也已经说到树状数组前缀和的规律，我们要求[a,b]的区间和，只需用 SUM[b]-SUM[a-1] 即可。

AC代码：

//https://blog.youkuaiyun.com/hesorchen
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define lowbit(a) (a & (-a))
#define mod 1000000007
#define endl "\n"

int n, m;
int c[2000005];
void update(int i, int k) //更新树状数组
{
    while (i <= n)
    {
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}
int getsum(int i) //求出[1,i]的区间和
{
    int ans = 0;
    while (i > 0)
    {
        ans += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int a;
        cin >> a;
        update(i, a); //输入也可理解为更新
    }
    while (m--)
    {
        int s1, s2, s3;
        cin >> s1 >> s2 >> s3;
        if (s1 == 1)
            update(s2, s3);
        else
            printf("%d\n", getsum(s3) - getsum(s2 - 1)); //前缀和性质
    }
    return 0;
}

由于刚刚上手，可能会有错误~