树状数组详解（区间修改和区间查询）

原创 2022-07-29 10:46:00 3.6k 阅读 AI写同款

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【代码超详解】LOJ #132. 树状数组 3 ：区间修改，区间查询一、题目描述样例样例输入 5 10 2 6 6 1 1 2 1 4 1 2 5 10 2 1 3 2 2 3 1 2 2 8 1 2 3 7 1 4 4 10 2 1 2 1 4 5 6 2 3 4 样例输出 15 34 32 33 50 二、算法分析说明与代码编写指导如果不了解树状数组，建议先阅读之前的题解： https://blog.youkuaiyun.com/COFACTOR/arti... 阅读详情

AI摘要

本文介绍了树状数组在处理区间修改和区间查询问题中的应用，通过实例展示了如何利用树状数组解决此类问题，并提供了完整的代码实现。通过对数列进行差分操作，维护两个树状数组，分别存储数列的累积和与累积乘积，从而高效地完成区间操作。

前置芝士

单点修改和区间查询
 区间修改和单点查询

引入

例题：（洛谷 P3372 【模板】线段树 1）

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数加上 $k$ 。
2.求出某区间每一个数的和。

这是线段树的模板题，然而我们要用树状数组去做它！

可以看出这题就像是单点修改区间查询和区间修改单点查询的升级版，好，那我们就顺着这两道题的思路继续走。

区间修改和区间查询

我们还是利用差分，可以得：

$\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^n a_i&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i b_j\\&=n×b_1+(n-1)×b_2+...+b_n\\&=n×\sum\limits_{i=1}^n b_i-\sum\limits_{i=1}^n [b_i×(i-1)] \end{aligned}$

方法就显而易见了：维护两个树状数组，一个维护 $\sum\limits_{i=1}^n b_i$ ，一个维护 $\sum\limits_{i=1}^n b_i×(i-1)$ 。

而维护 $\sum\limits_{i=1}^n b_i×(i-1)$ 只需在把 $k$ 加到 $x$ 位置时将树状数组加 $k * (x - 1)$ 即可。

完整代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int n,q,op,l,r,x;
int a[MAXN];
int c1[MAXN],c2[MAXN];
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
void update(int x,int k)
{
	int t=x;
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
	{
		c1[x]+=k;
		c2[x]+=k*(t-1);
	}
}
int query(int x)
{
	int ans=0,t=x;
	for(;x>=1;x-=lowbit(x))
		ans+=c1[x]*t-c2[x];
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		update(i,a[i]-a[i-1]);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
		if(op==1)
		{
			scanf("%d",&x);
			update(l,x);
			update(r+1,-x);
		}
		else
			printf("%d\n",query(r)-query(l-1));
	}
	return 0;
 }