常用函数的求导规则

常见函数的导数规则包括以下几种：

1. 常数函数：
   $$\frac{d}{dx}[c]=0$$
   常数函数的导数为0。

2. 幂函数：
   $$\frac{d}{dx}[x^n]=n\cdot x^{n-1}$$
   对于任意实数 $n$，幂函数的导数为 $n\cdot x^{n-1}$。

3. 指数函数：
   $$\frac{d}{dx}[a^x]=a^x\cdot \ln (a)$$
   对于常数 $a>0$，指数函数的导数为 $a^x\cdot \ln (a)$。

4. 自然指数函数：
   $$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$$
   自然指数函数的导数是它本身。

5. 对数函数：
   $$\frac{d}{dx}[\ln (x)]=\frac{1}{x}$$
   自然对数函数的导数是 $\frac{1}{x} $。

6. 正弦函数：
   $$\frac{d}{dx}[\sin (x)]=\cos (x)$$
   正弦函数的导数是余弦函数。

7. 余弦函数：
   $$\frac{d}{dx}[\cos (x)]=-\sin (x)$$
   余弦函数的导数是负的正弦函数。

8. 正切函数：
   $$\frac{d}{dx}[\tan (x)]={\sec }^2(x)$$
   正切函数的导数是正割的平方。

9. 反正弦函数：
   $$\frac{d}{dx}[{\sin }^{-1}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
   反正弦函数的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

10. 反余弦函数：
    $$\frac{d}{dx}[{\cos }^{-1}(x)]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
    反余弦函数的导数为 $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

11. 反正切函数：
    $$\frac{d}{dx}[{\tan }^{-1}(x)]=\frac{1}{1+x^2}$$
    反正切函数的导数为 $\frac{1}{1+x^2}$。

12. 乘法法则（乘积法则）：
    $$\frac{d}{dx}[u(x)\cdot v(x)]=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$
    乘法法则用于求两个函数的乘积的导数。

13. 链式法则：
    $$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$
    链式法则用于复合函数的导数。

14. 商法则（商的导数法则）：
    $$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{v(x)\cdot u^{\prime }(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$$
    商法则用于求两个函数商的导数。

这些规则帮助我们计算各种常见函数的导数，可以通过这些基础规则推导出更多的导数。

常用的求导公式

包括以下几种：

1. 常数函数的导数：
   $$\frac{d}{dx}[c]=0$$
   其中，$c$是常数。

2. 幂函数的导数：
   $$\frac{d}{dx}[x^n]=n{x}^{n-1}$$
   其中，$n$是常数。

3. 指数函数的导数：
   $$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$$
   $$\frac{d}{dx}[a^x]=a^x\ln a$$
   其中，$a$为常数。

4. 对数函数的导数：
   $$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$$
   $$\frac{d}{dx}[{\log }_{a}x]=\frac{1}{x\ln a}$$
   其中，$a $是常数。

5. 三角函数的导数：
   $$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$$
   $$\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$$
   $$\frac{d}{dx}[\tan x]={\sec }^{2}x$$
   $$\frac{d}{dx}[\cot x]=-{\csc }^{2}x$$
   $$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$$
   $$\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$$

6. 反三角函数的导数：
   $$\frac{d}{dx}[{\sin }^{-1}x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
   $$\frac{d}{dx}[{\cos }^{-1}x]=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
   $$\frac{d}{dx}[{\tan }^{-1}x]=\frac{1}{1+x^2}$$
   $$\frac{d}{dx}[{\cot }^{-1}x]=-\frac{1}{1+x^2}$$
   $$\frac{d}{dx}[{\sec }^{-1}x]=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$
   $$\frac{d}{dx}[{\csc }^{-1}x]=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

7. 乘积法则：
   $$\frac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

8. 商法则：
   $$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$$

9. 链式法则：
   $$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

10. 高阶导数：
    $$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(x)]\text{表示}f(x)\text{的第n阶导数}$$

这些是常见的基本求导公式，帮助你进行更复杂的求导计算。