零基础学习分式求导法则

分式求导法则是一种用于处理两个函数相除的导数计算的方法，根据商法则，分式的导数公式如下：

对于函数 $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$，其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是可导函数，并且 $v(x)\ne 0$，分式的求导公式为：

$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$$

分步解析：

1. 分母平方：导数结果的分母是原分母函数的平方，即 ([v(x)]^2)。
2. 分子规则：分子是“分子的导数 × 分母 - 分子的原值 × 分母的导数”，即：
   $$u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)$$

示例：

假设 $f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}$，我们对其求导：

• $u(x)=x^2+1$，因此 $u^{\prime }(x)=2x$
• $v(x)=x+2$，因此 $v^{\prime }(x)=1$

套用公式：
$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$$

计算分子：
$$u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)=(2x)(x+2)-(x^2+1)(1)$$
展开简化：
$$=2x^2+4x-x^2-1=x^2+4x-1$$

分母：
$$[v(x){]}^2=(x+2{)}^2$$

最终结果：
$$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+4x-1}{(x+2{)}^2}$$

分子为常数的负分数求导

我们从头讲解，并用详细步骤来帮助你理解「分子为常数的负分数求导」。

问题

如果一个分式的分子是常数，求导的形式和步骤是怎样的？

公式回顾：

对于 $f(x)=\frac{C}{v(x)}$（其中 $C$ 是常数，$v(x)$ 是分母），求导公式为：
$$f^{\prime }(x)=-\frac{C\cdot v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$$

解释：

• 分子是常数 $C$，求导时分子不变，只需对分母 $v(x)$ 求导。
• 符号变负：因为分母的倒数公式引入了负号。

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示例

假设我们要对 $f(x)=\frac{-3}{x^2+1}$ 求导。

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第 1 步：确定分子和分母

• 分子 $C=-3$，是一个常数。
• 分母 $v(x)=x^2+1$。

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第 2 步：对分母 $v(x)$ 求导

分母的导数公式：对 $v(x)=x^2+1$，其导数为：
$$v^{\prime }(x)=2x$$

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第 3 步：套用公式

根据公式：
$$f^{\prime }(x)=-\frac{C\cdot v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$$

将 $C=-3$、$v^{\prime }(x)=2x$、$v(x)=x^2+1$ 代入：
$$f^{\prime }(x)=-\frac{(-3)\cdot (2x)}{(x^2+1{)}^2}$$

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第 4 步：简化符号

分子中负号相乘：
$$f^{\prime }(x)=\frac{6x}{(x^2+1{)}^2}$$

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最终答案

$$f^{\prime }(x)=\frac{6x}{(x^2+1{)}^2}$$

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总结关键点

1. 分子为常数：直接把常数拿出来。
2. 分母求导：只需对分母求导，然后用公式。
3. 符号规则：记住公式里有负号。

分母求导

如何求分母的导数。我们来看一下：

导数的基本规则

求导时，我们用的是一些常见的求导规则，比如：

• 常数的导数：常数的导数是0。
• 幂函数的导数：如果函数是 $x^n$，那么它的导数是 $n{x}^{n-1}$。
• 和差法则：如果一个函数是两个函数的和（或差），那么它的导数是这两个函数的导数之和（或差）。
• 乘法法则：如果函数是两个函数的乘积，那么我们用乘法法则求导。

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在我们的例子中：

我们有分母 $v(x)=x^2+1$，要求导数。

第一步：将分母分开

可以把 $x^2+1$ 分开，写作两项的和：
$$v(x)=x^2+1$$

第二步：分别对每一项求导

• $x^2$ 的导数是 $2x$，根据 幂函数的导数规则 $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$，这里 $n=2$。
• $1$ 是常数，常数的导数是 $0$。

因此：
$$v^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2+1)=2x+0=2x$$

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总结

对 $v(x)=x^2+1$ 求导得到 $v^{\prime }(x)=2x$。

所以在我们的公式中，分母 $v(x)=x^2+1$ 求导后是 $v^{\prime }(x)=2x$。

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进一步举个例子：

如果分母是 $v(x)=x^3+5x-2$，我们也按同样的步骤进行：
$$v^{\prime }(x)=3x^2+5$$

幂函数的导数规则

幂函数的导数规则是求导时的一个基本法则。对于一个幂函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是常数，导数的计算方法为：

$$f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}$$

也就是说，对于一个幂函数 $x^n$，其导数是将指数 $n$ 乘到前面，然后指数减一。

例子：

1. $f(x)=x^3$，则 $f^{\prime }(x)=3x^2$
2. $f(x)=x^{-2}$，则 $f^{\prime }(x)=-2x^{-3}$
3. $f(x)=x^{1/2}$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$

这是基本的幂函数求导规则，适用于任何实数指数。