分式求导法则是一种用于处理两个函数相除的导数计算的方法，根据商法则，分式的导数公式如下：
对于函数 f ( x ) = u ( x ) v ( x ) f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} f(x)=v(x)u(x)，其中 u ( x ) u(x) u(x) 和 v ( x ) v(x) v(x) 是可导函数，并且 v ( x ) ≠ 0 v(x) \neq 0 v(x)=0，分式的求导公式为：
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) [ v ( x ) ] 2 f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2} f′(x)=[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
分步解析：
- 分母平方：导数结果的分母是原分母函数的平方，即 ([v(x)]^2)。
- 分子规则：分子是“分子的导数 × 分母 - 分子的原值 × 分母的导数”，即：
u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) u'(x) v(x) - u(x) v'(x) u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
示例：
假设 f ( x ) = x 2 + 1 x + 2 f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} f(x)=x+2x2+1，我们对其求导：
- u ( x ) = x 2 + 1 u(x) = x^2 + 1 u(x)=x2+1，因此 u ′ ( x ) = 2 x u'(x) = 2x u′(x)=2x
- v ( x ) = x + 2 v(x) = x + 2 v(x)=x+2，因此 v ′ ( x ) = 1 v'(x) = 1 v′(x)=1
套用公式：
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
[
v
(
x
)
]
2
f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}
f′(x)=[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
计算分子：
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
2
x
)
(
x
+
2
)
−
(
x
2
+
1
)
(
1
)
u'(x) v(x) - u(x) v'(x) = (2x)(x + 2) - (x^2 + 1)(1)
u′(x)v(x)−u(x)v′(x)=(2x)(x+2)−(x2+1)(1)
展开简化：
=
2
x
2
+
4
x
−
x
2
−
1
=
x
2
+
4
x
−
1
= 2x^2 + 4x - x^2 - 1 = x^2 + 4x - 1
=2x2+4x−x2−1=x2+4x−1
分母：
[
v
(
x
)
]
2
=
(
x
+
2
)
2
[v(x)]^2 = (x + 2)^2
[v(x)]2=(x+2)2
最终结果：
f
′
(
x
)
=
x
2
+
4
x
−
1
(
x
+
2
)
2
f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{(x + 2)^2}
f′(x)=(x+2)2x2+4x−1
分子为常数的负分数求导
我们从头讲解，并用详细步骤来帮助你理解「分子为常数的负分数求导」。
问题
如果一个分式的分子是常数，求导的形式和步骤是怎样的？
公式回顾：
对于
f
(
x
)
=
C
v
(
x
)
f(x) = \frac{C}{v(x)}
f(x)=v(x)C（其中
C
C
C 是常数，
v
(
x
)
v(x)
v(x) 是分母），求导公式为：
f
′
(
x
)
=
−
C
⋅
v
′
(
x
)
[
v
(
x
)
]
2
f'(x) = -\frac{C \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
f′(x)=−[v(x)]2C⋅v′(x)
解释：
- 分子是常数 C C C，求导时分子不变，只需对分母 v ( x ) v(x) v(x) 求导。
- 符号变负：因为分母的倒数公式引入了负号。
示例
假设我们要对 f ( x ) = − 3 x 2 + 1 f(x) = \frac{-3}{x^2 + 1} f(x)=x2+1−3 求导。
第 1 步：确定分子和分母
- 分子 C = − 3 C = -3 C=−3，是一个常数。
- 分母 v ( x ) = x 2 + 1 v(x) = x^2 + 1 v(x)=x2+1。
第 2 步：对分母 v ( x ) v(x) v(x) 求导
分母的导数公式：对
v
(
x
)
=
x
2
+
1
v(x) = x^2 + 1
v(x)=x2+1，其导数为：
v
′
(
x
)
=
2
x
v'(x) = 2x
v′(x)=2x
第 3 步：套用公式
根据公式：
f
′
(
x
)
=
−
C
⋅
v
′
(
x
)
[
v
(
x
)
]
2
f'(x) = -\frac{C \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
f′(x)=−[v(x)]2C⋅v′(x)
将
C
=
−
3
C = -3
C=−3、
v
′
(
x
)
=
2
x
v'(x) = 2x
v′(x)=2x、
v
(
x
)
=
x
2
+
1
v(x) = x^2 + 1
v(x)=x2+1 代入：
f
′
(
x
)
=
−
(
−
3
)
⋅
(
2
x
)
(
x
2
+
1
)
2
f'(x) = -\frac{(-3) \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2}
f′(x)=−(x2+1)2(−3)⋅(2x)
第 4 步：简化符号
分子中负号相乘：
f
′
(
x
)
=
6
x
(
x
2
+
1
)
2
f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 1)^2}
f′(x)=(x2+1)26x
最终答案
f ′ ( x ) = 6 x ( x 2 + 1 ) 2 f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 1)^2} f′(x)=(x2+1)26x
总结关键点
- 分子为常数：直接把常数拿出来。
- 分母求导：只需对分母求导，然后用公式。
- 符号规则：记住公式里有负号。
分母求导
如何求分母的导数。我们来看一下：
导数的基本规则
求导时，我们用的是一些常见的求导规则，比如：
- 常数的导数：常数的导数是0。
- 幂函数的导数：如果函数是 x n x^n xn，那么它的导数是 n x n − 1 nx^{n-1} nxn−1。
- 和差法则：如果一个函数是两个函数的和（或差），那么它的导数是这两个函数的导数之和（或差）。
- 乘法法则：如果函数是两个函数的乘积，那么我们用乘法法则求导。
在我们的例子中：
我们有分母 v ( x ) = x 2 + 1 v(x) = x^2 + 1 v(x)=x2+1，要求导数。
第一步：将分母分开
可以把
x
2
+
1
x^2 + 1
x2+1 分开，写作两项的和：
v
(
x
)
=
x
2
+
1
v(x) = x^2 + 1
v(x)=x2+1
第二步：分别对每一项求导
- x 2 x^2 x2 的导数是 2 x 2x 2x，根据 幂函数的导数规则 d d x ( x n ) = n x n − 1 \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} dxd(xn)=nxn−1，这里 n = 2 n = 2 n=2。
- 1 1 1 是常数，常数的导数是 0 0 0。
因此：
v
′
(
x
)
=
d
d
x
(
x
2
+
1
)
=
2
x
+
0
=
2
x
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x + 0 = 2x
v′(x)=dxd(x2+1)=2x+0=2x
总结
对 v ( x ) = x 2 + 1 v(x) = x^2 + 1 v(x)=x2+1 求导得到 v ′ ( x ) = 2 x v'(x) = 2x v′(x)=2x。
所以在我们的公式中，分母 v ( x ) = x 2 + 1 v(x) = x^2 + 1 v(x)=x2+1 求导后是 v ′ ( x ) = 2 x v'(x) = 2x v′(x)=2x。
进一步举个例子：
如果分母是
v
(
x
)
=
x
3
+
5
x
−
2
v(x) = x^3 + 5x - 2
v(x)=x3+5x−2，我们也按同样的步骤进行：
v
′
(
x
)
=
3
x
2
+
5
v'(x) = 3x^2 + 5
v′(x)=3x2+5
幂函数的导数规则
幂函数的导数规则是求导时的一个基本法则。对于一个幂函数 f ( x ) = x n f(x) = x^n f(x)=xn，其中 n n n 是常数，导数的计算方法为：
f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 f'(x) = n \cdot x^{n-1} f′(x)=n⋅xn−1
也就是说，对于一个幂函数 x n x^n xn，其导数是将指数 n n n 乘到前面，然后指数减一。
例子：
- f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3，则 f ′ ( x ) = 3 x 2 f'(x) = 3x^2 f′(x)=3x2
- f ( x ) = x − 2 f(x) = x^{-2} f(x)=x−2，则 f ′ ( x ) = − 2 x − 3 f'(x) = -2x^{-3} f′(x)=−2x−3
- f ( x ) = x 1 / 2 f(x) = x^{1/2} f(x)=x1/2，则 f ′ ( x ) = 1 2 x − 1 / 2 f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} f′(x)=21x−1/2
这是基本的幂函数求导规则，适用于任何实数指数。
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