微积分公式大全

在微积分的进阶学习中，会涉及许多更加复杂和深奥的公式与定理。以下是一些常见的复杂公式和定理，涵盖了多变量微积分、无穷级数、积分变换、极限等方面：

1. 多变量微积分

偏导数和梯度

• 偏导数：$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y,z)$ 是函数 $f(x,y,z)$ 对变量 $x$ 的偏导数。
• 梯度（Gradient）：$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$

二重积分和三重积分

• 二重积分：${\iint }_{R}f(x,y)dxdy$
  • 用于计算平面区域 $R$ 上的积分。
• 三重积分：${\iiint }_{V}f(x,y,z)dxdydz$
  • 用于计算空间区域 $V$ 上的积分。

雅可比矩阵和变换公式

• 雅可比矩阵：对于一个从 $n$-维空间到 $m$-维空间的向量值函数 $\mathbf{F}(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，雅可比矩阵是其偏导数的矩阵：
  $$J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$$
• 变换公式：在多重积分中，使用雅可比矩阵进行坐标变换：
  $${\iint }_{R}f(x,y)dxdy={\iint }_{R^{\prime }}f(\mathbf{T}(u,v))|\det J|dudv$$

2. 无穷级数

泰勒级数

• 泰勒级数是表示函数的无穷级数展开式。对于 $f(x)$ 在点 $a$ 处的泰勒展开：
  $$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots$$

麦克劳林级数（特例）

• 泰勒级数的特例，展开点为 0：
  $$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\dots$$

幂级数

• 形式为 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-c{)}^n$，用于表示收敛半径内的函数。

3. 极限定理与重要极限

洛必达法则（L’Hopital’s Rule）

• 用于求解极限 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 形式的极限：
  lim⁡x