Catalan公式推导（转载）

最新推荐文章于 2021-07-22 09:40:57 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-22 09:40:57 发布 · 1k 阅读

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本文详细介绍了如何将特定的递归公式转化为一个简洁的组合数学表达式f(n)=C(2n,n)/(n+1)的过程。通过引入母函数的概念，并结合广义二项式定理，最终成功实现了公式的转换。

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如何把下列递归公式 { f(0)=f(1)=1 } f(n)=f(0)*f(n-1-0)+f(1)*(n-1-1)+f(2)*f(n-1-2)+....+f(n-1-0)*f(0)

转化为 f(n)= C(2n,n)/(n+1)

可以利用母函数（发生函数）

令G(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+... 那么递归公式左边就是G(x)的n次项系数。右边是G(x)^2的n-1次项系数。所以我们有(注意到零次项系数这个小问题，所以加1） G(x)=x*G(x)^2+1 解出G(x)=(1-sqrt(1-4x))/2x sqrt(1-4x)可以用广义的二项式定理展开，并且写成关于x的形式幂级数（就是无限项的多项式）， (1-sqrt(1-4x))的n+1次项系数就是我们要求的，恰好是C(2n,n)/(n+1) 由二项式定理