Codeforces Educational Codeforces Round 106 /D. The Number of Pairs

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本文解析了Codeforces Educational Round 106中的D题“The Number of Pairs”，介绍了如何通过枚举和数学推导求解特定条件下(a,b)对的数量，并提供了一种O(N+tx)的时间复杂度算法。

Codeforces Educational Codeforces Round 106 /D. The Number of Pairs

D. The Number of Pairs
题意：对于 $1≤c,d,x≤1e71\le c,d,x\le1e7$ ，找出满足 $c⋅lcm(a,b)−d⋅gcd⁡(a,b)=xc\cdot lcm(a,b)-d\cdot\gcd{(a,b)}=x$ 的 $(a, b)$ 的对数。

设 $g=\gcd{(a,b)}$ 则有 $a = A g, b = B, g c d (A, B) = 1$
$c⋅lcm(a,b)−d⋅gcd⁡(a,b)=xc⋅ABg−d⋅g=xc⋅AB−d⋅=xgAB=xg+dc\begin{aligned} c\cdot lcm(a,b)-d\cdot\gcd{(a,b)}&=x\\ c\cdot ABg-d\cdot g&=x\\ c\cdot AB-d\cdot &=\frac{x}{g}\\ AB&=\frac{\frac{x}{g}+d}{c} \end{aligned}$
令 $K=xg+dcK=\frac{\frac{x}{g}+d}{c}$ ,对于整数K，枚举K所有的素因子，因为AB互质，所以K的每个素因子只能被A，B之中的一个拥有。设K的素因子个数为NUM，那么每个K对答案的贡献为 $2^{NUM}$ 。

可以用 $O(x)O(\sqrt x)$ 的时间复杂度枚举x的每个因子，从而枚举所有的K。因为 $1≤K≤2e71\le K\le 2e7$ ，所以可以通过欧拉筛预处理每个K的素因子个数。

总时间复杂度为 $O(N+tx)O(N+t\sqrt x)$ 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int max_n=2e7+5;
ll a[max_n];
int prime[max_n];
int vis[max_n];
int cnt=0;
void init(void)
{
	a[1]=0;
	for(int i=2;i<max_n;i++)
	{
		if(!vis[i]){
			prime[cnt++]=i;
			a[i]=1;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<max_n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				a[i*prime[j]]=a[i];
				break;
			}
			a[i*prime[j]]=a[i]+1;
		}
	}
}
int main(void)
{
	int t,c,d,x;
	init();
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d%d",&c,&d,&x);
		int k;
		ll ans=0,temp;
		for(int i=1;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0){
			temp=x/i+d;
			if(temp%c==0){
				ans+=1ll<<a[temp/c];
			}
			if(i*i!=x){
				temp=x/(x/i)+d;
				if(temp%c==0)ans+=1ll<<a[temp/c];
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}