斐波那契数列 通项公式 [数学]

[2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f=2”>i-2)的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input
输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output
输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input
0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

Sample Output
0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

题解

先求出其通项公式如下

$$F_{n}={\frac {1}{{\sqrt {5}}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]$$

证明过程

有了公式后还要注意一点就是它只要输出前4位，方法链接

$$\begin{align}\lg F_{n} &={-\lg {{\sqrt {5}}}}+\lg \left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\\ &={-\lg {{\sqrt {5}}}}+\lg \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\lg \left[1-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{1+{\sqrt {5}}}}\right)^{n}\right]\\ &\approx {-\lg {{\sqrt {5}}}}+{n}\cdot \lg \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\\ \end{align}$$

那么它前四位就是$\left[10^{\{\lg F_{n}\}+3}\right]$
(注：{}为取小数部分，[]为取整数部分)

代码如下

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const double sqrt_5=sqrt(5.0);
const double a=sqrt_5/5;
const double b=(1+sqrt_5)/2;
const double c=(1-sqrt_5)/2;

int fib1(int n){
    int fn=a*(pow(b,n)-pow(c,n));
    return fn;
}

int fib2(int n){
    double fn=log10(a)+log10(b)*n;
    fn=fn-floor(fn);
    fn=pow(10.0,fn);
    fn=floor(1000*fn);
    return (int)fn;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        if(n<21)
            printf("%d\n",fib1(n));
        else
            printf("%d\n",fib2(n));
    }
    return 0;
}