已知x=a mod p,y=b mod p,求gcd(x,y) mod p的最大值

已知$x\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),y\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$求$d\equiv gcd(a,b)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$最大值。p为素数

已知$x\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),y\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$求$d\equiv gcd(a,b)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$最大值。p为素数。

1、当$a=b=0$时，$x=k_{1}p,y=k_{2}p$，无论$k_1,k_2$如何取值，$gcd(x,y)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$恒成立。

2、讨论其中一个为0的情况。不妨设b=0，我们可以构造出$x=(p-a)(p-1),y=p(p-1)$。
显然满足$x\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),y\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
又因为$gcd(p-a,p)=1$，所以$gcd(x,y)=p-1$，此时的gcd在模p下取得最大值。

3、讨论a和b都不等于0的情况。不妨设$a\ge b$，构造$x=k_1(p-1),y=k_2(p-1)$,其中$k_1=p-a,k_2=p-b$，显然满足$x\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),y\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
但是并不能保证$gcd(k_1,k_2)=1$，从而不能保证$gcd(x,y)=p-1$。
现在进一步的构造$k_1$。
不妨设$k_1^{/}=xp+k_1$,因为$gcd(k_2,p)=1$，所以方程$xp+y{k}_2=1$ 一定有整数解，从而我们可以通过扩展欧几里得算法解出正整数解x，那么有$xp\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_2)$,从而我们可以构造出新的$k_1^{/}=(k_2-k_1+1)xp+k_1$,此时的$k_1^{/}$满足$k_1^{/}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_2)$，从而$gcd(k_1^{/},k_2)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{k}_2)$，又因为$k1\le k_2$，所以$gcd(k_1^{/},k_2)=1$，即$k_1^{/}$与$k_2$互质。
从而$x=k_1^{/}(p-a),y=k_2(p-a),gcd(x,y)=p-1$