LightOJ 1336

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题目：求1-n中$\sigma (x)$为偶数的个数，其中$\sigma$为约数和函数。

对任意正整数n有，$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}...p_n^{a_n}$
$\sigma (n)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{a_2})...(1+p_n+p_n^2+...+p_n^{a_n})$

若$p_i=2$,则$(1+2+2^2+..+2^{a_i})$一定为奇数
若$p_i>2$，则当且仅当$a_i$为偶数时，$(1+p_i+p_i^2+...+p_i^{a_i})$。因为除了2之外的素数都是奇数，奇数个奇数相加为奇数，偶数个奇数相加为偶数。

奇数相乘仍为奇数，奇数乘偶数为偶数。

若想让$\sigma (n)$为奇数，则$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}...p_n^{a_n}$中$p_i>2$的每项$a_i$都要是偶数。
现考虑包含素因子2的情况
1、若$p_1=2$且$a_1$为偶数，那么n一定是完全平方数。
2、若$p_1=2$且$a_1$为奇数，那么n一定可以表示为完全平方数*2。
3、若$p_1>2$，那么n一定是完全平方数。

所以$\sigma (n)$为奇数当且仅当$n=x^2$或$n=2x^2$。所以1-n中$\sigma (n)$为奇数的个数为$num=\sqrt{n}+\sqrt{\frac{n}{2}}$。

题目的答案即为$n-\lfloor \sqrt{n}\rfloor -\lfloor \sqrt{\frac{n}{2}}\rfloor$