UVA 11582 Colossal Fibonacci Numbers（数论）

最新推荐文章于 2021-03-14 14:39:22 发布

WedsonLin

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： acm竞赛

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博客介绍了如何解决UVA 11582问题，该问题涉及到斐波那契数列在数论中的应用。文章讨论了利用模运算性质寻找斐波那契数列最短循环节的方法，并通过快速幂取模计算F(ab) mod n。证明了循环节起始项必定为<F(0),F(1)>，并给出了算法的时间复杂度分析。" 114677284,10508104,次留降低/提升原因深度分析框架,"['数据分析', '用户行为', '产品运营', '数据异常检测']

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UVA 11582 Colossal Fibonacci Numbers（数论）

给定a,b(0<=a,b<2⁶⁴)和正整数n(1<=n<=1000),求f(a^b)modn,其中f(x)是斐波那契数列。

根据斐波那契数列的定义和模运算的性质可知：
有f(n) mod n=f(n-1) mod n+f(n-2) mod n,

不妨令F(n)=f(n) mod n

当<F(n-1),F(n)>二元组第二次出现时，前面的项构成了F(x)数列的最短循环节。之后只用求F(a^bmod L)即可，L为循环节长度，用快速幂来取模。

因为余数最多有n种，所以最多在n²项就会重复出现。

那么算法的时间复杂度为O(N²+logb)

可以证明循环节的第一和第二项组成的二元组一定是<F(0),F(1)>，
下面给出一个简易的证明：

假定循环节的第一二项不是<F(0),F(1)>，设其为<F(n-1),F(n)>。
下面来证明<F(0),F(1)>一定在<F(n-1),F(n)>出现第二次前出现过。

有F(n)=( F(n-1) + F(n-2) ) mod n
因为F(n-1)是给定的且ranF={0,1,…,n-1},所以F(n-2)是确定的且一定与<F(n-1),F(n)>第一次出现的位置的前一个相同。
以此类推，可知<F(0),F(1)>在<F(n-1),F(n)>出现第二次前出现过。

十分粗略的证明，意会意会。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=1e6;
int f[max_n];
unsigned long long a,b;
int n;
int mod_pow(unsigned long long a,unsigned long long b,int mod)
{
	if(b==0)return 1;
	int x=mod_pow(a,b/2,mod);
	unsigned long long ans=((unsigned long long)x*x)%mod;
	if(b%2==1)ans=(ans*(a%mod))%mod;
	return ans;
 } 
int main(void)
{
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		int mod,s;
		cin>>a>>b>>n;
		f[0]=0;f[1]=1%n;
		for(int i=2;;i++)
		{
			f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%n;;
			if(f[i-1]==f[0]&&f[i]==f[1]){mod=i-1;break;}
		}
		int pos=mod_pow(a,b,mod);
		cout<<f[pos]<<endl;
	}
//	fclose(stdout);
 } 
//3
//1 1 2
//2 3 1000
//18446744073709551615 18446744073709551615 1000