UVA-11582 Colossal Fibonacci Numbers!

• 题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11582

• 题意： 求Fibonacci数列的$F(a^b)\%n$

• 规模：

  • $0\leq a,b<2^{64}$
  • $1\leq n \leq 1000$

• 类型： 数论，模运算

• 分析：

  • 由Fibonacci数列的递推方式可得，取模之后，如果相邻两个数重复，那么数列循环，而相邻两数组合最多$n^2$，所以必定循环。
  • 找到循环节Loop，计算$F( (a\%loop) ^ {b\%loop})\%n$

• 时间复杂度&&优化：

• 代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>


using namespace std;

typedef unsigned long long LL;

const int MAXN = 1100*1100;

//返回a^p mod n 要求0<=a<n
LL pow_mod(LL a,LL p,LL n){
    if(p==0) return 1;
    LL ans=pow_mod(a,p/2,n);
    ans=ans*ans%n;
    if(p%2==1)ans=ans*a%n;
    return ans;
}

LL Fibo[MAXN];
LL loop=1;
void Fibonacci(int N){
    Fibo[0]=0;
    Fibo[1]=1;
    for(int i=0;;i++){
        Fibo[i+2]=(Fibo[i+1]+Fibo[i])%N;
        if(Fibo[i+1]==0&&Fibo[i+2]==1){loop=i+1;break;}
    }
}

int T;
LL  m,a,b;
int n;
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>a>>b>>n;
        if(n==1){cout<<0<<endl;continue;}
        Fibonacci(n);        
        int x=(int)pow_mod(a%loop,b,loop);
        cout<<Fibo[x]%n<<endl;
    }
    return 0;
}