Miller-Rabin随机性素数测试方法

最新推荐文章于 2024-02-01 15:09:49 发布

WedsonLin

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： acm竞赛

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WedsonLin/article/details/109243719

Miller-Rabin素数测试是一种用于高效判断大整数素数性的方法，它改进了基于费马小定理的测试。通过随机选择多个基值并结合特定定理，该方法能有效筛选合数，尽管可能存在一定的错误率。算法包括随机选取基值执行见证函数，出错概率与选取的测试数s有关。对于1024位整数，s约取9即可保证高正确率。

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素数测试就是判断一个整数是素数还是合数。一般判断素数p的方式是通过判断2到根号p内的整数是否可以整除p来实现。时间复杂度为O(p^1/2)。如果p是一个m位二进制整数，m=floor(Ig(p+1))，O(p^1/2)=O(2^m/2)。
然而对于大整数而言，这样的时间复杂度显然是不可以接受的。

费马小定理： $an−1≡1(modn)if\space n\space is\space prime\space\space\space\forall a\in Z_n^{*}\space,\space a^{n-1}\equiv1\pmod n$

所以判断n素数性的另一种办法是，从Z⁺_n={1,2,3,…,n-1}（因为如果n是素数,则Z⁺_n=Z^*_n)中选择一个数a，如果不满足 $an−1≡1(modn)a^{n-1}\equiv1\pmod n$ ，则说明这个数是合数。

可惜的是，通过费马小定理判断素数的方式是"几乎可行“的。下面介绍伪素数的概念， $composite,∃a,an−1≡1(modn)if\space is\space composite,\exists a,a^{n-1}\equiv1\pmod n$

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