Timus 1673(反欧拉函数）

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博客介绍了如何解决ACM竞赛中的Timus 1673问题，该问题涉及反欧拉函数，要求找到最小的N，使得φ(N)等于给定的k。关键在于确定当gcd(k, N)=1时，方程组有解。文章通过递归和素因子分解的方法来寻找最优解，并提供了代码实现。" 105664231,7622912,VS 2017 中的QT环境配置教程,"['QT开发', 'Visual Studio', 'C++开发', '环境配置']

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Timus 1673(反欧拉函数）

题目链接

有题意可知，设第i个教授掌管的实验室编号为index，则满足 $index\equiv i\pmod N$ ；对于第k个同学，只去编号为 $index'=kx(k\ge 1)$ 的实验室。如果第k个同学要获得考试资格，则满足如下同余方程组
$\left\{\begin{matrix} kx_1\equiv 1\pmod N\\ kx_2\equiv 2\pmod N\\ .\\ .\\ .\\ kx_N\equiv N\pmod N \end{matrix}\right.$
尽管对于单个方程， $g c d (k, N) = 1$ 不是单个方程有解的充要条件；但是如果要求每个方程都有解则 $g c d (k, N) = 1$ 是充分必要条件。
设方程等式右边的数为y。当 $g c d (y, N) = 1$ 且 $g c d (k, y) = 1$ 时，方程有解的当且仅当是k存在模N下的逆元，而k存在模N下的逆元k存在模N下的逆元gcd(k,N)=1。

所以题目要求的N是满足 $\varphi(N)=k$ 的最小N。

已知 $N=\prod p_i^{e_i}$ ，则有 $\varphi(N)=\prod p_i^{e_i-1}(p_i-1)$ 。

有 $\begin{aligned}k&=\prod p_i^{e_i-1}(p_i-1)\\k\prod p_i&=N\prod (p_i-1)\\N&=\frac{k\prod p_i}{\prod (p_i-1)}\end{aligned}$

1、若存在 $\varphi(N)=k$ ，则一定有 $p_i-1|k$ 。
2、若 $k + 1$ 为素数，则 $N = k + 1$ 为最优解。
3、若 $k + 1$ 不为素数，则则k的最优解N一定不是素数，那么N的素因子分解式至少有两个不同的素因子，因此一定存在 $p_i-1)|k,(p_j-1)|k$ 所以一定存在一个素因子 $p_i\le \sqrt{k}$ 。

把问题转化成，
满足如下约束条件：
$\frac{k}{\prod p_i^{e_i-1}(p_i-1)}=1$
最小化 $N=\prod p_i^{e_i}$ 。
因此可以用递归来求解N：
$N=\varphi^{-1}(k)=\min_{(x-1)x^{y-1}|k}(x^y\cdot\varphi^{-1}(\frac{k}{(x-1)x^{y-1}})),x \space is\space prime$

用dfs枚举即可，注意 $k = 1$ 时的特判以及保证满足N的素因子分解式中素因子的唯一性。

优化建议，初始化将所有小于 $\sqrt{k}$ 且满足 $(x - 1) ∣ k$ 的素数x放在一个容器中，dfs节点树扩展的时候从容器里选择合法扩展方向即可。当扩展到节点中的k满足k+1为素数且合法(即满足N素因子的唯一性)，直接返回k+1。不建议记忆化搜索，因为不知道之前搜索的答案是否与现在的答案合法。

注意INF。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<map>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=1e16+5;
const int max_n=1e6;
int prime[max_n];
bool vis[max_n];
vector<int> v;
int cnt;
unordered_map<ll,ll> mp;
map<ll,ll> mp1;
void init(ll k)
{
	cnt=0;
	for(ll i=2;i<max_n;i++)
	{
		if(!vis[i]){
			prime[cnt++]=i;
		}
		for(ll j=0;j<cnt&&i*prime[j]<max_n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
	ll m=sqrt(k+0.5);
	for(int i=0;i<cnt&&(prime[i]-1)<=m;i++)
	if(k%(prime[i]-1)==0)v.push_back(prime[i]);
}
bool isprime(ll n)
{
	for(ll i=2;i*i<=n;i++)
	if(n%i==0)return false;
	return true;
}
ll solve(ll k,int pos)
{
	if(k==1)return 1;
	if(isprime(k+1)){
		if(!mp1[k+1])return k+1;
		else return INF;
	}
	ll m=sqrt(k+0.5);
	ll ans=INF;
	for(int i=pos;i<v.size();i++)
	{
		mp1[v[i]]=1;
		for(ll ret=v[i]-1,x=v[i];ret<=k;x*=v[i],ret*=v[i])
		if(k%ret==0){
			ll t=solve(k/ret,i+1);
			if(t!=INF)ans=min(ans,x*t);
		}
		mp1[v[i]]=0;
	}
	return ans;
}
int main(void)
{

	ll k； 
	scanf("%lld",&k);
	if(k==1){
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	init(k);
	ll ans=solve(k,0);
	if(ans==INF)printf("0\n");
	else printf("%lld\n",ans);
}