UVA 12169 Disgruntled Judge (扩展欧几里得算法）

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本文介绍了解决UVA12169问题的方法，该问题需要使用扩展欧几里得算法求解未知数列。文章详细解释了两种求解思路，并提供了完整的C++代码实现。

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UVA 12169 Disgruntled Judge (扩展欧几里得算法）

给出3个整数x₁，a，b。根据递推公式x_i=(a*x_i-1+b) mod 10001来构造了长度为2T的数列。给出x₁,x₃,x₅…x_2T-1,求出x₂,x₄,x₆…x_2T.

根据题意，有：
x₂=(ax₁+b)%mod - - - $1$
x₃=(ax₂+b)%mod - - - $2$

令n=mod
由 $1$ 得x₂和ax₁+b同余，所以x2-(ax₁+b)=ny₁ - - - $3$
由 $2$ 得x₃和ax₂+b同余，所以x3-(ax₂+b)=ny₂ - - - $4$
. . . . .
方法一：
由 $4$ - $3$ 得，ny+(a+1)x₂=ax₁+x₃
通过枚举a的值，通过扩展欧几里得算法求出x₂的值，然后再根据 $2$ 式
x₃=(ax₂+b)%mod == ax₂+b=k*mod+x₃
求出b的值。

方法二：
由 $4$ +a× $3$ 得，ny+(a+1)b=x₃-a²x₁
通过枚举a的值，通过扩展欧几里得算法求出b的值
. . . . .
最后用O(T)的时间来计算序列，每计算出一个新式就进行校验，发现与原输入不符，则继续枚举a。

值得注意的是，用扩展欧几里得算法求出的x是方程ny+(a+1)x₂=gcd(n,a+1)的解，需要通过再一次的变换来得到原方程的解。

在求出原方程的解后，通过解的线性变换 X=k*(n/gcd(n,a+1))+x₂来得到处在[0,10000]区间内的解。

进行线性变换的方法可以通过取模进行。
X=(x%mod+mod)%mod，求得X属于[0,10000]

对于X=kmod+x 求X属于[0,mod]
X=x%mod 等价于 x=kmod+X 等价于 X=kmod+x
由于x可能为负数，固等式变成
X=(x%mod+mod)%mod

对于第一种方法后来求出的b也要在进行计算序列之前通过
b=(b%n+n)%n的操作，将其变换到[0,10000]的同余类。
根据取模的性质，有x_i=(ax_i-1+b)%n=(ax_i%n+b%n)%n不然可能会溢出。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=1e4+5;
int n;
int input_x[max_n];
int output_x[max_n];
int mod=10001;
typedef long long ll;
void gcd(int a,int b,int &d,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){
		d=a;x=1;y=0;
	}
	else {
		gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);
	}
}
int main(void)
{
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&input_x[i]);
	for(int a=0;a<=10000;a++)
	{
		ll y,x;
		ll b;
		int d;//d=gcd(mod,a+1) 
		ll c=input_x[2]-(ll)a*a*input_x[1];
		gcd(mod,a+1,d,y,b);
		if(c%d!=0)continue;
		b*=(c/d);
//		b=(b%mod+mod)%mod;
		bool flag=true;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			output_x[i]=(int)(((ll)a*input_x[i]+b)%mod);
			int temp=(int)(((ll)a*output_x[i]+b)%mod);
			if(i!=n&&temp!=input_x[i+1]){
				flag=false;break;
			}
		}
		if(!flag)continue;
		else{
			for(int i=1;i<=n;i++)
			printf("%d\n",output_x[i]);
			break;
		}
	}
// fclose(stdout);
 } 
//3
//17
//822
//3014