【POJ1222】EXTENDED LIGHTS OUT 高斯消元、解异或方程组

博客主要介绍了如何应用高斯消元法来解决EXTENDED LIGHTS OUT问题,这是一个涉及5*6矩阵中灯的状态变化的题目。作者通过异或操作代替传统加减乘除完成了方程组的求解,并分享了实现代码。

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#include <stdio.h>
int main()
{
	puts("转载请注明出处[vmurder]谢谢");
	puts("网址:blog.youkuaiyun.com/vmurder/article/details/43481693");
}


题意:

多组数据、

有个5*6的图,然后你要对某些位置进行操作,使得最后灯的状态如图。

操作:这个灯位置的上下左右以及自己这五盏灯状态都取反。


然后输出操作。

说实话什么亮灭什么我全都没考虑。

直接瞎写一遍就PE了,改改就AC了。


高斯消元解异或方程组:

跟正常高斯消元一样,只不过拿一个式子A消式子B的时候,是用异或而不是加减乘除。


代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 50
using namespace std;
const int dx[]={0,0,0,1,-1};
const int dy[]={0,1,-1,0,0};

bool a[N][N],ans[N];

void Gauss(int n,int m)
{
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=i;j<=n&&!a[j][i];j++);
		if(i!=j)for(k=i;k<=m;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
		for(j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i])
			for(k=i;k<=m;k++)
				a[j][k]^=a[i][k];
	}
	for(i=n;i;i--)
	{
		ans[i]=a[i][m];
		for(j=n;j>i;j--)ans[i]^=(a[i][j]*ans[j]);
	}
}

int n,m,id[N][N],cnt;
int main()
{
	freopen("test.in","r",stdin);

	int i,j,k;
	int t,g,_g;
	n=5,m=6;
	for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)id[i][j]=++cnt;
	for(scanf("%d",&_g),g=1;g<=_g;g++)
	{
		printf("PUZZLE #%d\n",g);
		memset(a,0,sizeof a);
		for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[id[i][j]][/*n*m+1*/31]);
		for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)for(k=0;k<=4;k++)
		{
			if(t=id[i+dx[k]][j+dy[k]])a[id[i][j]][t]=1;
			else a[id[i][j]][t]=0;
		}
		Gauss(n*m,n*m+1);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			for(j=1;j<=m;j++)
			{
				if(j-1)printf(" ");
				printf("%d",ans[id[i][j]]);
			}
			puts("");
		}
	}
}



### 矩阵在扩展版 Lights Out 游戏中的实现 #### 背景介绍 关灯游戏(Lights Out)是一种基于逻辑的益智游戏,其核心机制涉及通过一系列操作使所有灯光熄灭。该游戏可以通过线代数的方法建模并求,其中矩阵扮演了重要角色。具体来说,游戏的状态可以用二进制向量表示,而每次点击的操作可以看作是对当前状态施加的一个变换。 对于扩展版本的游戏(如 POJ 1222),通常是一个 \( M \times N \) 的网格,初始状态下某些位置可能亮起或熄灭。目标是找到一种最小化翻转次数的方式使得整个网格变为全零状态(即所有灯均关闭)。这一过程可通过构建一个对应的布尔方程组来描述,并利用高斯消法或其他数值技术求[^3]。 #### 数学模型建立 假设我们有一个大小为 \( m=5, n=6 \) 的棋盘,则总共有 30 个独立变量代表各个格子是否被按压过。设这些未知数构成列向量 \( x=[x_1,x_2,...,x_{30}]^T \),如果某位 i 对应的位置需要按下一次就令 xi=1 否则等于 0 。接着定义另一个长度相同的响应矢量 y ,它记录的是最终期望达到的目标配置 —— 这里就是全是 'off' 或者说都是 0 值的情况下的布局图样 [y₁,y₂,…,yn]=₀₆₀⁰[^4]. 为了表达上述关系,我们需要创建一个系数矩阵 A 来捕捉每一个按钮动作如何影响周围邻居节点的变化情况: \[ Ax = b \] 这里, - **A** 是一个稀疏矩阵,每一行对应于某个特定单格及其邻域的影响模式; - **b** 表示初始条件下的光源分布状况; - 决这个系统意味着寻找合适的输入序列 x 以满足给定的要求 b. 由于涉及到异或运算特(xor operation), 实际上是在有限字段 GF(2)=Z/2Z 上执行计算而不是普通的实数空间 R^n 中进行处理. 因此标准算法比如 Gaussian elimination 需要做适当调整以便适应这种特殊的算术环境. #### 使用高斯消去法决问题 一旦建立了这样的数学框架之后,就可以采用经典的 Gauss-Jordan Elimination 方法逐步简化增广矩阵直到得到唯一可行或者是证明无存在为止。特别注意当面对大规模实例时效率问题变得至关重要因此也可能考虑其他更高效的替代策略例如 Bitmasking Techniques 结合快速傅立叶变换 FFT 加速乘法步骤等等优化手段提升能表现水平. 以下是用 Python 编写的简单例子展示如何运用 NumPy 库完成基本功能演示: ```python import numpy as np def create_matrix(m,n): """Create coefficient matrix for lights out game.""" size=m*n mat=np.zeros((size,size)) # Fill diagonal elements and neighbors based on grid structure. for r in range(m): for c in range(n): idx=r*n+c # Current cell itself always toggles. mat[idx,idx]=1 # Toggle top neighbor if exists. if r>0: mat[(r-1)*n+c,idx]=mat[idx,(r-1)*n+c]=1 # Bottom neighbor similarly handled... ... return mat.astype(int) # Example usage creating small test case setup. if __name__=="__main__": M,N=(5,6) initial_state=[[int(c)for c in line.strip().split()]for _in range(M)] target_vector=sum(initial_state,[]) coeff_mat=create_matrix(M,N) augmented=np.hstack([coeff_mat,np.array(target_vector).reshape(-1,1)]) rank_before_elim=np.linalg.matrix_rank(coeff_mat) reduced_form,rref_rows,_=gauss_jordan(augmented) solution_exists=len(rref_rows)==len(set(map(tuple,reduced_form[:,-1]))) print("Solution Exists:",solution_exists) ``` 以上脚本片段仅作为概念验证用途并未完全覆盖边界情形检测等功能完善需求实际部署前还需进一步测试改进确保鲁棒和兼容良好。 ---
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