Newcoder 59 E.求最值（分治）

最新推荐文章于 2021-05-24 22:36:47 发布

v5zsq

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分类专栏： Newcoder 分治

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本文探讨了如何求解一个序列中两个元素的最小距离问题，通过定义特定函数f(i,j)，将问题转化为求解n个点中的最近点对，采用分治策略实现高效解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给你一个长为 $n$ 的序列 $a$

定义 $f(i,j)=(i-j)^2+g(i,j)^2$

$g$ 是这样的一个函数

求最小的 $f (i, j)$ 的值， $i! = j$

Input

第一行一个数 $n$

之后一行 $n$ 个数表示序列 $a$

$(2≤n≤105,∣ai∣≤104)(2\le n\le 10^5,|a_i|\le 10^4)$

Output

输出一行一个数表示答案

Sample Input

4
1 0 0 -1

Sample Output

Solution

假设 $i < j$ ， $g (i, j)$ 即为 $∑k=i+1jak=∑1≤k≤jak−∑1≤k≤iak=sj−si\sum\limits_{k=i+1}^ja_k=\sum\limits_{1\le k\le j}a_k-\sum\limits_{1\le k\le i}a_k=s_j-s_i$ ，其中 $s_i$ 为 $a_i$ 的前缀和，那么以 $i,s_i)$ 作为 $i$ 的二维坐标， $f (i, j)$ 即为 $i, j$ 两点之间的距离，原问题也就变成了求 $n$ 个点中的最近点对，经典问题，分治即可

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 100010
struct node
{
	int x,y;
};
node p[maxn],t[maxn];
int cmpxy(node a,node b)
{
	if(a.x==b.x)
		return a.y<b.y;
	return a.x<b.x;
}
int cmpy(node a,node b)
{
	return a.y<b.y;
}
ll dis(node a,node b)
{
	return 1ll*(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+1ll*(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
ll closest(int left,int right)
{
	ll d=4e18;
	if(left==right)return d;
	if(left+1==right)return dis(p[left],p[right]);
	int mid=(left+right)/2; 
	ll d1=closest(left,mid),d2=closest(mid+1,right);
	d=min(d1,d2);
	int k=0;
	for(int i=left;i<=right;i++)
		if(1ll*(p[i].x-p[mid].x)*(p[i].x-p[mid].x)<=d)
			t[k++]=p[i];
	sort(t,t+k,cmpy);
	for(int i=0;i<k;i++)
		for(int j=i+1;j<k&&1ll*(t[j].y-t[i].y)*(t[j].y-t[i].y)<d;j++)
			d=min(d,dis(t[i],t[j]));
	return d;
}
int main()
{
	int res=0,x=0,n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		res+=x;
		p[i].x=i,p[i].y=res;
	}
	printf("%lld\n",closest(0,n-1));//输出的是最短距离的一半 
	return 0;
}