HDU 6447 YJJ's Salesman（dp+BIT）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/82908136

本文介绍了一种在二维平面上寻找从特定起点到终点路径的算法，旨在通过经过一系列点获得最大收益。算法将点按横坐标离散化，并使用动态规划和二进制索引树来高效计算最大收益，适用于处理大量点的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出二维平面上的 $n$ 个不同的点 $x_i,y_i)$ ，现在要从 $(0, 0)$ 走到 $10^9,10^9)$ ，每次只能从 $(x, y)$ 走到 $(x, y + 1), (x + 1, y), (x + 1, y + 1)$ 中的一点，且如果是从 $x_k-1,y_k-1)$ 走到 $x_k,y_k)$ 的话，会收益 $v_k$ ，问从 $(0, 0)$ 走到 $10^9,10^9)$ 的最大收益

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入一整数 $n$ 表示点数，之后 $n$ 行每行输入三个整数 $x_k,y_k,v_k$ 表示第 $k$ 个点的坐标和价值

$(1≤T≤10,1≤n≤105,0≤xk,yk≤109)(1\le T\le 10,1\le n\le 10^5,0\le x_k,y_k\le 10^9)$

Output

输出最大收益

Sample Input

1
3
1 1 1
1 2 2
3 3 1

Sample Output

Solution

把所有点按横坐标离散化为 $m$ 列，以 $d p [i]$ 表示从起点到第 $i$ 列的最大收益，把所有点按纵坐标排序，按横坐标离散化后的值转移即可，即对于当前点 $(x, y, v)$ (不妨认为 $x$ 是离散化后的横坐标)，有转移
$dp[x]=max(dp[i],1\le i<x)+v$
用 $B I T$ 维护一下 $d p$ 数组的前缀和最大值即可，时间复杂度 $O (n l o g n)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
struct BIT 
{
	#define lowbit(x) (x&(-x))
	int b[maxn],n;
	void init(int _n)
	{
		n=_n;
		for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=0;
	}
	void update(int x,int v)
	{
		while(x<=n)
		{
			b[x]=max(b[x],v);
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x)
	{
		int ans=0;
		while(x)
		{
			ans=max(b[x],ans);
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}bit;
struct node
{
	int x,y,v;
	bool operator<(const node &b)const
	{
		if(y!=b.y)return y<b.y;
		return x>b.x;
	}
}a[maxn];
int T,n,h[maxn],dp[maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].v);
		a[n+1].x=a[n+1].y=a[n+1].v=0;
		a[n+2].x=a[n+2].y=1e9,a[n+2].v=0;
		n+=2;
		sort(a+1,a+n+1);
		for(int i=1;i<=n;i++)h[i-1]=a[i].x;
		sort(h,h+n);
		int m=unique(h,h+n)-h;
		for(int i=1;i<=n;i++)a[i].x=lower_bound(h,h+m,a[i].x)-h+1;
		bit.init(m);
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int id=a[i].x;
			dp[id]=max(dp[id],bit.query(id-1)+a[i].v);
			bit.update(id,dp[id]);
		}
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)ans=max(ans,dp[i]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}