HDU 6446 Tree and Permutation（组合数学+树形DP）_对于一个排列p,定义其价值w(p)=∑ i=1~n dis(i,p)-优快云博客

本文探讨了在给定带权树结构下，如何通过树形动态规划算法计算所有顶点排列组合中路径长度总和的问题。具体地，介绍了如何遍历树结构，计算每条边对最终答案的贡献，并通过递归方式确定各子树节点数量，最终求得所有排列组合的权值总和。此问题涉及图论、动态规划与组合数学等计算机科学核心领域。

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Description

给出一棵 $n$ 个点的树，边有边权，对于 $1$ ~ $n$ 的这 $n!$ 个排列，记排列 $p_1,...,p_n$ 这个排列的权值为在树上 $p_i$ 到 $p_{i+1}$ 的最短路长度之和，求所有排列的权值和

Input

第一行一整数 $n$ 表示点数，之后 $n - 1$ 行每行输入三个整数 $u, v, w$ 表示 $u, v$ 之间有一条权值为 $w$ 的树边

$(1≤n≤105,1≤w≤109)(1\le n\le 10^5,1\le w\le 10^9)$

Output

输出所有排列的权值和，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3
1 2 1
2 3 1
3
1 2 1
1 3 2

Sample Output

16
24

Solution

考虑树上每条边对答案的贡献，对于边 $u, v, w$ ，假设 $u$ 的深度小于 $v$ 的深度，假设 $v$ 的子树中有 $m$ 个节点，那么从这 $m$ 个点中任取一点 $x$ ，从剩余 $n - m$ 个点中任取一点 $y$ ，若 $x, y$ 在排列中相邻，那么 $x, y$ 之间的最短路径必然经过 $u v$ 边，故 $u v$ 边对答案的贡献为 $2⋅m⋅(n−m)⋅w⋅(n−1)!2\cdot m\cdot (n-m)\cdot w\cdot (n-1)!$ ，一遍树形 $D P$ 求出每个点为根的子树中节点个数即可

Code

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define maxn 100005
#define mod 1000000007
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int T,n,Size[maxn],ans,fact[maxn];
vector<P>g[maxn];
void dfs(int u,int fa)
{
	Size[u]=1;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i].first,w=g[u][i].second;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		ans=add(ans,mul(w,mul(Size[v],n-Size[v])));
		Size[u]+=Size[v]; 
	}
}
int main()
{
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=100000;i++)fact[i]=mul(fact[i-1],i);
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)g[i].clear();
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int u,v,w;
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			g[u].push_back(P(v,w));
			g[v].push_back(P(u,w));
		}
		ans=0;
		dfs(1,0);
		ans=mul(add(ans,ans),fact[n-1]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}