Newcoder 140 B.discount（树形DP）

Description

有$n$种饮料，第$i$种饮料价格为$p[i]$，当买第$i$种饮料时有两种优惠：

1.直接优惠$d[i]$元，也就是说只需要花费$p[i]-d[i]$买第$i$种饮料

2.免费得到第$f[i]$种饮料

问这$n$种饮料每种至少有一个所需的最少花费

Input

第一行一整数$n$表示饮料种类，之后输入$n$个整数$p[1],...,p[n]$表示每种饮料的价格，之后输入$n$个整数$d[1],...,d[n]$，最后输入$n$个整数$f[1],...,f[n]$

$(1\le n\le 10^5,0\le d[i]\le p[i]\le 10^9,1\le f[i]\le n)$

Output

输出最小花费

Sample Input

3
10 3 5
5 0 5
1 3 2

Sample Output

8

Solution

以赠送关系反向建图构成若干基环，首先考虑树上问题，则第二种优惠方式为购买某个儿子节点可以赠送该点，以$g[u][0]$表示以$u$为根的子树中每点都至少买一次的最少代价，以$g[u][1]$表示以$u$为根的子树中每点都至少买一次，且以第二种优惠方式购买$u$点的最少代价（即可以赠送$u$的父亲节点），那么有转移

$g[u][1]=p[u]+\sum\limits_{v\in son(u)}g[v][0]$

$g[u][0]=\min(p[u]-d[u]+\sum\limits_{v\in son(u)}g[v][0],\min_{w\in son(u)}g[w][1]+\sum\limits_{v\in son(u),v\neq w}g[v][0])$

其中$g[u][0]$的转移即为要么用第一种优惠购买$u$，要么$u$是通过购买$u$的某个儿子$w$赠送的

令$sum[u]=\sum\limits_{v\in son(u)}g[v][0]$，则上述转移可以写成

$g[u][1]=p[u]+sum[u]$

$g[u][0]=\min(p[u]-d[u]+sum[u],\min\limits_{w\in son(u)}(g[w][1]-g[w][0])+sum[u])$

下面考虑基环的情况，假设环上的点为$v_1,...,v_m$，枚举$v_1$的转移，即$v_1$是否要通过购买$v_m$赠送得到，以$sta=0/1$表示$v_1$不用/用通过购买$v_m$赠送得到，以$dp[i][0]$表示购买$v_1,...,v_i$以及其外挂着的树上所有节点至少一次所需最少代价，$dp[i][1]$表示购买$v_1,...,v_i$以及其外挂着的树上所有节点至少一次且以第二种优惠方式购买$v_i$的最少代价，那么

$dp[1][1]=g[v_1][1],dp[1][0]=sta?sum[v_1]:dp[v_1][0]$，并有转移

$dp[i][1]=dp[i-1][0]+g[v_i][1]$

$dp[i][0]=\min(dp[i-1][1]+sum[v_i],dp[i-1][0]+g[v_i][0])$

答案即为$dp[m][sta]$，枚举$sta$选取较优值即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
int n,p[maxn],d[maxn],f[maxn],vis[maxn],mark[maxn];
ll g[maxn][2],dp[maxn][2],sum[maxn];
vector<int>e[maxn];
void dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    ll mn=1e16;
    for(int i=0;i<e[u].size();i++)
    {
        int v=e[u][i];
        if(mark[v])continue;
        dfs(v);
        sum[u]+=g[v][0];
        mn=min(mn,g[v][1]-g[v][0]);
    }
    g[u][1]=p[u]+sum[u];
    g[u][0]=min(p[u]-d[u]+sum[u],mn+sum[u]);
}
ll Solve(int u)
{
    while(!vis[u])vis[u]=1,u=f[u];
    vector<int>v;
    v.clear();
    v.push_back(u);
    while(f[v.back()]!=u)v.push_back(f[v.back()]);
    for(int i=0;i<v.size();i++)mark[v[i]]=1;
    for(int i=0;i<v.size();i++)dfs(v[i]);
    ll ans=1e16;
    for(int sta=0;sta<=1;sta++)
    {
        dp[0][1]=g[v[0]][1];
        dp[0][0]=sta?sum[v[0]]:g[v[0]][0];
        for(int i=1;i<v.size();i++)
        {
            dp[i][1]=g[v[i]][1]+dp[i-1][0];
            dp[i][0]=min(dp[i-1][1]+sum[v[i]],dp[i-1][0]+g[v[i]][0]);
        }
        ans=min(ans,dp[v.size()-1][sta]);
    }
    return ans;
}
int main()
{   
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&f[i]);
        e[f[i]].push_back(i);
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])ans+=Solve(i);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}