Newcoder 140 C.message（上凸包）

最新推荐文章于 2022-11-19 17:57:49 发布

v5zsq

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分类专栏： Newcoder 计算几何

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本文介绍了一种算法，用于处理给定多条不平行于y轴的直线，并查询与这些直线在一四象限中交点横坐标最大值的问题。算法通过计算两直线交点的横坐标，利用斜率和凸包的概念，对查询直线与已有直线进行比较，以找到最大交点横坐标。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $n$ 条和 $y$ 轴不平行的直线 $y=a_ix+b_i$ ，之后查询 $m$ 次，每次给出一条直线 $y=c_ix+d_i$ ，查询这条直线与之前 $n$ 条直线在一四象限中交点横坐标的最大值，如果和之前 $n$ 条直线在一四象限中没有交点则输出 $No\ cross$

Input

第一行一整数 $n$ ，之后 $n$ 行每行输入两个整数 $a_i,b_i$ 表示一条直线，之后输入一整数 $m$ 表示查询数，每组查询输入两个整数 $c_i,d_i$ 表示一条直线

$(1\le n,m\le 5\cdot 10^4,-10^9\le a_i,b_i,c_i,d_i\le 10^9)$

Output

对于每组查询，如果所给直线和之前 $n$ 条直线在一四象限有交点则输出交点横坐标最大值，否则输出 $No\ cross$

Sample Input

2
0 -1
1 2
3
-1 4
2 -2
2 5

Sample Output

5.000000000000000
4.000000000000000
No cross

Solution

对于直线 $y=ax+b$ 和直线 $y=cx+d$ ，其交点横坐标为 $\frac{d-b}{a-c}=-\frac{d-b}{c-a}$ ，即为点 $(a,b)$ 和点 $(c,d)$ 斜率的相反数，那么对于一组查询 $(c,d)$ ，即求 $(c,d)$ 到所有点 $(a_i,b_i)$ 的斜率最小值，显然该斜率最小值出现在所有横坐标小于 $c$ 的点的上凸包里或者出现在所有横坐标大于 $c$ 的点的下凸包里，对这两者二分取到最小值之后更新答案即可

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define eps 1e-6
struct Point
{
    double x,y;
    int id;
    Point(){};
    Point(double _x,double _y){x=_x,y=_y;}
    Point operator+(const Point &b)const
    {
        return Point(x+b.x,y+b.y);
    }
    Point operator-(const Point &b)const
    {
        return Point(x-b.x,y-b.y);
    }
    double operator^(const Point &b)const
    {
        return x*b.y-y*b.x;
    }
    bool operator<(const Point &b)const
    {
        if(x!=b.x)return x<b.x;
        return y<b.y;
    }
}p[maxn],s[maxn];
double k(Point a,Point b)
{
    return (b.y-a.y)/(b.x-a.x);
}
int n,m;
double ans[maxn];
void convex_hull(int n)
{
    int top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(p[i].id)
        {
            if(top==0)continue;
            int l=0,r=top,mid;
            while(r-l>1)
            {
                mid=(l+r)/2;
                if(k(p[i],s[mid-1])<k(p[i],s[mid]))r=mid;
                else l=mid;
            }
            ans[p[i].id]=max(ans[p[i].id],-k(p[i],s[l]));
        }
        else
        {
            while(top>1&&((s[top-1]-s[top-2])^(p[i]-s[top-1]))>=0)top--;
            s[top++]=p[i];
        }
}
void Solve(int n)
{
    sort(p+1,p+n+1);
    convex_hull(n);
    reverse(p+1,p+n+1);
    convex_hull(n);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y),p[i].id=0;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%lf%lf",&p[i+n].x,&p[i+n].y),p[i+n].id=i;
    Solve(n+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(ans[i]<eps)printf("No cross\n");
        else printf("%.6f\n",ans[i]);
    return 0;
}