HDU 6425 Rikka with Badminton（组合数学）

最新推荐文章于 2019-09-21 14:22:06 发布

v5zsq

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分类专栏： HDU 组合数学

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本文探讨了一种特定的计数问题，即从不同类型的球员中选择若干人组成队伍，但不能出现两人共用一个球的情况。通过分析非法方案，提出了有效的解决策略，并给出了具体的计算方法及示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有 $n$ 个人打球，分成四种， $a$ 个人没有球拍没有球， $b$ 个人只有球拍没有球， $c$ 个人只有球没有球拍， $d$ 个人既有球拍也有球，问从这 $n$ 个人中选出若干使得没有两只球拍一个球的方案数

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入四个整数 $a,b,c,d$

$(1\le T\le 10^3,0\le a,b,c,d\le 10^7,a+b+c+d\ge 1)$

Output

输出方案数，结果模 $998244353$

Sample Input

3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 4 5 6

Sample Output

12
84
2904

Solution

考虑不合法方案，即凑够两个球拍一个球，分三种情况：

1.从 $d$ 个人中至少选两个，那么前 $a+b +c$ 个人随便选，方案数 $(2^d-d-1)\cdot 2^{a+b+c}$

2.从 $d$ 个人中选一个，那么要从 $b$ 个人中至少选一个，其他人随便选，方案数 $d\cdot (2^b-1)\cdot 2^{a+c}$

3. $d$ 个人不选， $b$ 个人中至少选两个， $c$ 个人中至少选一个，方案数 $(2^b-b-1)\cdot (2^c-1)\cdot 2^a$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 998244353
int T,a,b,c,d;
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int Pow(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans=mul(ans,x);
        x=mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        int ans=Pow(2,a+b+c+d);
        int t=mul(Pow(2,a),mul(add(Pow(2,b),mod-b-1),add(Pow(2,c),mod-1)));
        ans=add(ans,mod-t);
        t=mul(d,mul(mul(add(Pow(2,b),mod-1),Pow(2,a)),Pow(2,c)));
        ans=add(ans,mod-t);
        t=mul(add(Pow(2,d),mod-d-1),Pow(2,a+b+c));
        ans=add(ans,mod-t);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}