CodeForces 294 C.Shaass and Lights（组合数学）

最新推荐文章于 2021-09-16 20:41:27 发布

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组合数学

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本文介绍了一个有趣的算法问题：如何计算将一系列初始状态为部分开启的灯全部打开的方法数量。通过数学推导，给出了一个高效的解决方案，并附带了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一排灯，用 $01$ 表示灯的开关状态， $0$ 表示灯关， $1$ 表示灯亮，每次可以打开之前是关闭状态的且其旁边有打开状态灯的灯，问有多少种方案可以把所有灯打开

Input

第一行两个整数 $n,m$ 表示灯的数量和打开灯的数量，之后输入 $m$ 个整数表示这 $m$ 个开着灯的位置 $(1\le n\le 1000,1\le m\le n)$

Output

输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3 1

Sample Output

Solution

假设这些开着的灯的位置为 $a_1<a_2<...<a_m$ ，对于两端的没开的灯，只能从 $a_1$ 开始往前开，从 $a_m$ 开始往后开，而中间的没开的灯，可以从 $a_i$ 往 $a_{i+1}$ 开，也可以从 $a_{i+1}$ 往 $a_i$ 开，先考虑开 $a_i$ ~ $a_{i+1}$ 这段没开的 $a_{i+1}-a_i-1$ 个灯，每次可以从两边选一个开开，只有一个的时候只能开这个，故方案数为 $2^{min(a_{i+1}-a_i-2,0)}$ ，而每一段相互独立，每次可以选择一段去开一个灯，方案数为多项式系数 $\left( \begin{array}{ccc}&&n-m\\a_1-1& a_2-a_1-1&...&a_n-a_{n-1}-1& n-a_n\end{array} \right)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
#define mod 1000000007
int fact[maxn],inv[maxn],f2[maxn];
void init(int n=1000)
{
    f2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f2[i]=2*f2[i-1]%mod;
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int n,m,a[maxn];
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
        sort(a+1,a+m+1);
        int ans=1;
        for(int i=1;i<m;i++)ans=(ll)ans*f2[max(a[i+1]-a[i]-2,0)]%mod;
        ans=(ll)ans*fact[n-m]%mod;
        a[0]=0,a[m+1]=n+1;
        for(int i=1;i<=m+1;i++)ans=(ll)ans*inv[a[i]-a[i-1]-1]%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}