codeforces 294C C. Shaass and Lights(组合数学)

最新推荐文章于 2024-10-02 23:06:27 发布

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本文介绍了一道 CodeForces 上的题目，该题涉及一系列初始状态已知的灯，需要求出点亮所有灯的不同方案数量。文章详细解析了如何通过分段考虑并结合组合数学的方法来解决这个问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：

codeforces

题目大意：

给出一列灯，初始有一些点亮的灯，每次只能点亮与已经点亮的灯相邻的灯，问点亮所有灯的方案有多少种。

题目分析：

首先利用初始已经点亮的灯分段，最左侧和最右侧的两段因为只有一侧有灯，所以单论这一段的话，点亮的方案只有一种。
对于中间的段落，因为两侧都有灯，所以每次都有两个灯备选，也就是有 $2^n$ 中方案。
然后因为各个段的点亮也有交叉的顺序，所以就是对于每一段采取类似于插板的组合方法，也就是 $\mathcal{C}_{sum}^{num},sum是当期分段的元素总数，num是当前段元素的总数$

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAX 1007

using namespace std;

typedef long long LL;
int n,m;
const LL mod = 1e9+7;
LL ans = 1;
int mark[MAX];
LL c[MAX][MAX];

LL qp ( LL n )
{
    LL ret = 1LL, num = 2LL;
    while ( n )
    {
        if ( n&1 )
        {
            ret *= num;
            ret %= mod;
        }
        num *= num;
        num %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

void init ( )
{
    c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1LL;
    for ( int i = 2 ; i < MAX ; i++ )
        for ( int j = 0 ; j <= i ; j++ )
            if ( j == 0 || j == n ) c[i][j] = 1LL;
            else 
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
                c[i][j] %= mod;
            }
}

int main ( )
{
    init ( );
    while ( ~scanf ( "%d%d" , &n , &m ) )
    {
        ans = 1LL;
        memset ( mark , 0 , sizeof ( mark ) );
        while ( m-- )
        {
            int x;
            scanf ( "%d" , &x );
            mark[x] = 1;
        }
        LL num = 0,sum = 0,temp = 0;
        int l=1,r=n;
        while ( !mark[l] ) l++,sum++;
        while ( !mark[r] ) r--,temp++;
        //cout << l << " " << r << endl;
        for ( int i = l+1 ; i <= r ; i++ )
        {
            if ( mark[i] )
            {
                if ( num == 0 ) continue;
                ans *= qp ( num-1 );
                ans %= mod;
                ans *= c[sum][num];
                ans %= mod;
                num = 0;
            }
            else sum++,num++;
        }
        ans *= c[sum+temp][temp];
        ans %= mod;
        printf ( "%lld\n" , ans );
    }
}