CodeForces 37 D.Lesson Timetable（组合数学+dp）

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本文介绍了一个关于教室人员分配的问题及解决方案。给定多个教室及其容纳人数限制，算法通过动态规划求解人员在不同教室间的最优分配方案数。最终输出考虑人员编号后的方案总数。

Description

有 $m$ 个教室，第 $i$ 个教室最多可以容纳 $y_i$ 人上课，初始状态第 $i$ 个教室有 $x_i$ 人， $a$ 教室的人可以移动到 $b$ 教室 $(a\le b)$ ，问移动后有多少种可能方案，结果模 $10^9+7$

Input

第一行一个整数 $m$ 表示教室数量，之后输入 $m$ 个整数 $x_i$ 表示初始状态第 $i$ 个教室里的人数，最后输入 $m$ 个整数 $y_i$ 表示第 $i$ 个教室可以容纳的人数 $(1\le m\le 100,0\le x_i\le y_i\le 100,\sum x_i\le 1000)$

Output

输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3
1 1 1
1 2 3

Sample Output

Solution

首先不考虑人的编号，用 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 间教室容纳 $j$ 个人的方案数，记前 $i$ 个教室的总人数为 $s_i=\sum\limits_{j=1}^ix_i$

枚举第 $i$ 间教室的人数 $k$ 有转移方程 $dp[i][j]+=dp[i-1][j-k]*C_{s_i-(j-k)}^k$

$dp[m][s_m]$ 即为把这 $s_m$ 个人放置到 $m$ 间教室的方案数，然后考虑人的编号得到答案为 $ans=dp[m][s_m]\frac{s_m!}{\prod\limits_{i=1}^mx_i!}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
#define mod 1000000007
int dp[maxn][maxn],fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=1000)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    return (ll)fact[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int m,x[maxn],y[maxn],s[maxn];
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        s[0]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",&x[i]);
            s[i]=s[i-1]+x[i];
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&y[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<=s[i];j++)
                for(int k=0;k<=min(j,y[i]);k++)
                {
                    dp[i][j]+=(ll)dp[i-1][j-k]*C(s[i]-(j-k),k)%mod;
                    if(dp[i][j]>=mod)dp[i][j]-=mod;
                }
        int ans=(ll)dp[m][s[m]]*fact[s[m]]%mod;
        for(int i=1;i<=m;i++)ans=(ll)ans*inv[x[i]]%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}