CodeForces 28 C.Bath Queue（概率DP+组合数学）

最新推荐文章于 2020-08-08 21:44:54 发布

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探讨了n个孩子在m个洗浴室洗手池排队洗漱的问题，通过动态规划算法求解最长队伍长度的期望值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

$n$ 个孩子去 $m$ 个洗浴室洗漱，第 $i$ 个洗浴室有 $a_i$ 个洗手池，每次只能给一个孩子用，其他孩子如果选择这个洗手池则需排队，每次孩子会选择最短的队排，求所有队伍中最长的队伍长度的期望值

Input

首先输入两个整数 $n,m$ 分别表示孩子个数和洗浴室个数，之后 $m$ 个整数 $a_i$ 表示第 $i$ 个洗浴室里洗手池数量 $(1\le n,m,a_i\le 50)$

Output

对于每组用例，输出最长队伍长度的期望值，误差不超过 $10^{-9}$

Sample Input

1 1
2

Sample Output

1.00000000000000000000

Solution

$dp[i][j][k]$ 表示还剩 $i$ 个洗浴室和 $j$ 个孩子没选择，最长队伍长度为 $k$ 的期望值，初始化 $dp[0][0][i]=i$

枚举第 $i$ 个洗浴室中孩子数量 $l$ ，那么这个洗浴室最长队伍长度为 $\lceil\frac{l}{a_i}\rceil$ ，本来这 $j$ 个孩子每人有 $i$ 种选择，现在选出 $l$ 个孩子有 $C_j^l$ 种情况，剩下的 $j-l$ 个孩子每人有 $i-1$ 种选择，故有转移方程

$dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-l][max(k,\lceil\frac{l}{a_i}\rceil)]\cdot\frac{(i-1)^{j-l}C_j^l}{i^j}$

答案即为 $dp[m][n][0]$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=55;
double P[maxn][maxn],C[maxn][maxn],dp[maxn][maxn][maxn];
void init(int n=50)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        P[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)P[i][j]=P[i][j-1]*i;
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,m,a[maxn];
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<=n;i++)dp[0][0][i]=i;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<=n;j++)
                for(int k=0;k<=n;k++)
                    for(int l=0;l<=j;l++)
                        dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-l][max(k,(l+a[i]-1)/a[i])]*P[i-1][j-l]/P[i][j]*C[j][l];
        printf("%.12f\n",dp[m][n][0]);

    }
    return 0;
}