【AtCoder2000】Leftmost Ball （DP+组合数）

最新推荐文章于 2022-01-20 11:50:38 发布

CaptainHarryChen

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分类专栏：动态规划(DP) OI题解文章标签： AtCoder

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动态规划(DP)

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本文探讨了Snuke对彩色球进行特定排列并重新着色的问题，通过动态规划的方法来计算不同排列方案的数量，并给出了具体的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

Snuke喜欢五颜六色的球。他总共有N×K个球，有N种颜色，每种颜色的球有K个。颜色编号为1到N。他将按照任意顺序排列所有球。然后，对于每种颜色，他将该颜色的最左边的球涂成颜色0，颜色0不同于N种原始颜色中的任何颜色。如将球排列为(1,2,1,2)，染色后就变为（0,0,1,2）。
所有操作后，球的颜色序列有多少种，求这个方案数mod 10^9+7。

题解

发现一个性质：对任何前缀，0的个数必须 $\geq$ 出现的其它颜色种类数
可定义 $dp[i][j]$ 表示有i个0，j种颜色都已经放完的方案数
转移：
新放了一个0
$dp[i][j]+=dp[i-1][j]$
新放了一种颜色，这个颜色的第一个球必须放在最开始（表示这时候已经出现过这种颜色），（还有一个球变为了0）这种颜色还剩下 $K-2$ 个球可以随便放，则需乘上组合数
$dp[i][j]+=dp[i][j-1]\times C_{N\times K-i-(j-1)(K-1)-1}^{K-2}$
最后答案为 $dp[N][N]\times N!$ （dp时没有考虑颜色的区别，还需乘上颜色的排列数）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=2005,MOD=1000000007;

int PowMod(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret=1LL*ret*a%MOD;
        a=1LL*a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int fac[MAXN*MAXN],ifac[MAXN*MAXN];

void Init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN*MAXN;i++)
        fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%MOD;
    ifac[MAXN*MAXN-1]=PowMod(fac[MAXN*MAXN-1],MOD-2);
    for(int i=MAXN*MAXN-2;i>=0;i--)
        ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%MOD;
}
int C(int n,int r)
{return 1LL*fac[n]*ifac[n-r]%MOD*ifac[r]%MOD;}

int N,K,dp[MAXN][MAXN];

int main()
{
    Init();
    scanf("%d%d",&N,&K);
    if(K==1)
    {
        puts("1");
        return 0;
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(i)
                dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%MOD;
            if(j)
                dp[i][j]=(dp[i][j]+1LL*dp[i][j-1]*C(N*K-i-(K-1)*(j-1)-1,K-2)%MOD)%MOD;
        }
    int ans=1LL*dp[N][N]*fac[N]%MOD;
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}