[Codeforces37D]Lesson Timetable

最新推荐文章于 2020-06-26 16:46:03 发布

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组合数

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本文介绍了一种解决特定组合优化问题的算法——如何计算一组人员在多个教室间的移动方案数量。通过动态规划和组合数学的方法，实现了高效的计算，并给出了完整的C++实现代码。

题目大意

有m个教室，第i个教室最多能容纳Yi组人，初始时第i个教室有Xi组人。
现在每组人要从当前所在的教室a移动到教室b(a≤b)。我们不知道第i组人初始在哪间教室，以及它要去哪间教室，求可能的方案数。答案对 $10^9+7$ 取模

数据范围

1≤m≤100 0< $\sum{Xi}$ ≤1000 0≤Xi,Yi≤100

思路

设s[i]= $\sum_{j=1}^i xj$
先无视每个组的编号，然后设f[i][j]为初始前i个教室，已经分配了j组人的新教室，方案数为多少。转移显然：

f [i] [j] = \sum f [i - 1] [j - k] * C k s [i] - (j - k)

$f[i][j]=\sum{f[i-1][j-k]}* \ C_{s[i]-(j-k)}^k$
其中k枚举的是放在教室i的组数，注意0≤k≤Y[i]。

那么f[m][s[m]]就是要求的答案了。加上每组人编号的影响：

a n s = f [m] [s [m]] * \prod i = 1 m * C X [i] s [m] - s [i - 1]

$ans=f[m][s[m]] *\prod_{i=1}^m *\ C_{s[m]-s[i-1]}^{X[i]}$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mo=1e9+7;

int n,m,s[105],f[105][1005],Fact[1005],Ie[1005],X[105],Y[105];

int quick(int x,int y)
{
    if (!y) return 1;
    int tmp=quick(x,y/2);
    tmp=(LL)tmp * tmp % mo;
    if (y % 2==1) tmp=(LL)tmp*x % mo;
    return tmp;
}

int C(int n,int m)
{
    return (LL)Fact[n] * Ie[m] % mo * Ie[n-m] % mo;
}

int main()
{
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&X[i]);
        s[i]=s[i-1]+X[i];
    }
    n=s[m];
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&Y[i]);
    Fact[0]=Ie[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        Fact[i]=(LL)Fact[i-1]*i % mo;
        Ie[i]=quick(Fact[i],mo-2);
    }
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        for (int j=0;j<=s[i];j++)
        {
            for (int k=0;k<=min(j,Y[i]);k++)
            {
                f[i][j]=(f[i][j]+(LL)f[i-1][j-k] * C(s[i]-j+k,k) % mo) % mo;
            }
        }
    }
    int ans=f[m][n];
    for (int i=1;i<=m;i++) ans=(LL)ans * C(n-s[i-1],X[i]) % mo;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}